Quasi Dirichlet

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Gerald Lambeau
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Quasi Dirichlet

Messaggio da Gerald Lambeau » 02 gen 2018, 16:05

Sia $n$ un intero positivo.
Dimostrare che esistono infiniti primi della forma $hn+1$ con $h$ intero positivo.
"Non ho rispetto per i miei superiori, figurati se ho rispetto per i miei pari: il rispetto di un uomo lo merita solo chi è a lui inferiore."
Cit. Marco (mio vero nome)

The Game.

Ci sono cose che non si possono confutare; per tutto il resto, c'è la fisica.

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elianto84
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Re: Quasi Dirichlet

Messaggio da elianto84 » 07 mar 2018, 22:56

Un grande classico. Sketch di dimostrazione: sia $\Phi_n(x)$ l'n-esimo polinomio ciclotomico, ossia il polinomio minimo su $\mathbb{Q}$ di una radice primitiva $n$-esima dell'unità. $\Phi_n$ ha grado $\varphi(n)$ e su ogni campo finito $\mathbb{F}_p$ esso si spezza come prodotto di irriducibili aventi lo stesso grado (vedi: automorfismo di Frobenius). In particolare, se $p$ divide $\Phi_n(a)$ allora $\Phi_n(x)$ si spezza in fattori lineari su $\mathbb{F}_p$ e $p$ è della forma $kn+1$, in quanto il grado del campo di spezzamento di $\Phi_n(x)$ su $\mathbb{F}$ è dato dal minimo $k$ tale che $n\mid(p^k-1)$. Se scegliamo $a_1,a_2,a_3,\ldots$ come si deve, ossia in modo che $\Phi_n(a_j)$ e $\Phi_n(a_k)$ siano coprimi ogni qual volta $a_j\neq a_k$, dalla fattorizzazione dei termini della successione $\Phi_n(a_1),\Phi_n(a_2),\Phi_n(a_3),\ldots$ tiriamo fuori infiniti primi *distinti* della forma $kn+1$.
Jack alias elianto84 alias jack202

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