Esercizzzietto

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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RiccardoKelso
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Esercizzzietto

Messaggio da RiccardoKelso » 22 dic 2017, 12:16

Risolvere negli interi positivi $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{y+x}=6$
Hai paura di bagnarti?

Non si può entrare nell'angolo rotture della lidl

$N_n=(n-1)(N_{n-1}+N_{n-2}), \space N_1=0, \space N_2=1$

Salvador
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Re: Esercizzzietto

Messaggio da Salvador » 07 gen 2018, 18:21

Ispirata a questa ma piuttosto diversa per risoluzione (own, spero non sia banale):

Risolvere negli interi positivi l'equazione

$$ \frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{z+x} + \frac{z^2}{x+y} = 3$$

PG93
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Re: Esercizzzietto

Messaggio da PG93 » 08 gen 2018, 20:30

Ci provo...
Testo nascosto:
Si ha per Titu's lemma:
$$\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{(x+y+z)^2}{2(x+z+y)}=\frac{x+y+z}{2}$$
con l'uguaglianza se e solo se $x=y=z$. Perciò se per $x,y,z\in\mathbb{N^*}$ si ha $x+y+z>6$, allora la terna $(x,y,z)$ non è soluzione. Si provano allora tutte le terne possibili, e finalmente l'unica terna di interi positivi che soddisfa l'uguaglianza è $(2,2,2)$.

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