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Buongiorno!
ho bisogno di un aiuto per una dimostrazione che pensavo fosse più semplice..
i numeri cortesi sono quei numeri naturali che possono scriversi come somma di due o più numeri consecutivi, ad esempio il 6=3+2+1 oppure il 10=1+2+3+4. Con l'utilizzo dei numeri figurati è facile dimostrare che tutti i numeri sono cortesi tranne le potenze di due...ora viene il problema..intuisco il problema dipenda dall'assenza di fattori primi dispari, ma non riesco a dimostrarlo.

Spero di aver postato nella sezione giusta..
grazie e a presto!

La somma dei numeri da $1$ ad $n$ si può scrivere come $n(n+1)/2$. Quindi i numeri cortesi sono quei numeri $\mathcal C$ che per certi $m$ ed $n$ si possono scrivere come
\[\mathcal C = \frac{n(n+1)}2-\frac{m(m+1)}2=\frac{(n-m)(n+m+1)}2.\]
Adesso, $n-m$ e $n+m+1$ hanno differenti parità: il che vuol dire che visto che, scritto $\mathcal C=2^\alpha\cdot D$ con $D$ dispari, si deve avere
\[2^{\alpha+1}\cdot D =(n-m)(n+m+1)\]
e il fattore $2^{\alpha+1}$ deve andare in uno solo dei due fattori. Se $D=1$ (caso delle potenze di due), vuol dire che uno dei fattori tra $n-m$ e $n+m+1$ deve essere uguale a $1$: non può essere $n+m+1=1$ quindi $n-m=1$, ma il problema chiede che siano somma di due o più numeri consecutivi: se $n-m=1$ vuol dire che dalla somma $1+2+\ldots+n$ tolgo $1+2+\ldots+(n-1)$ e quindi rimane un solo numero, assurdo.

Ma così hai dimostrato "solo" che non possono essere cortesi i le potenze di due, ma non che lo sono tutti gli altri

grazie mille
non avevo pensato alla formula di Gauss

Michael Pasquini ha scritto: ↑15 nov 2017, 18:27 Ma così hai dimostrato "solo" che non possono essere cortesi i le potenze di due, ma non che lo sono tutti gli altri

gli altri numeri si dimostrano molto semplicemente con i numeri figurati

seant ha scritto:gli altri numeri si dimostrano molto semplicemente con i numeri figurati

Se è chiaro a te... Io sinceramente non ho idea di cosa tu stia intendendo

Lasker ha scritto: ↑15 nov 2017, 22:05

seant ha scritto:gli altri numeri si dimostrano molto semplicemente con i numeri figurati

Se è chiaro a te... Io sinceramente non ho idea di cosa tu stia intendendo

https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_figurato

Michael Pasquini ha scritto: ↑15 nov 2017, 18:27 Ma così hai dimostrato "solo" che non possono essere cortesi i le potenze di due, ma non che lo sono tutti gli altri

Sí infatti io avevo capito che la richiesta era solo questa. Comunque mi pare che la cosa di @C3POletto funzioni, avevo pensato a qualcosa di simile

Si ho letto ora il commento di C3POletto e funziona