Numeri cortesi e scortesi

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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seant
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Numeri cortesi e scortesi

Messaggio da seant » 15 nov 2017, 11:06

Buongiorno!
ho bisogno di un aiuto per una dimostrazione che pensavo fosse più semplice..
i numeri cortesi sono quei numeri naturali che possono scriversi come somma di due o più numeri consecutivi, ad esempio il 6=3+2+1 oppure il 10=1+2+3+4. Con l'utilizzo dei numeri figurati è facile dimostrare che tutti i numeri sono cortesi tranne le potenze di due...ora viene il problema..intuisco il problema dipenda dall'assenza di fattori primi dispari, ma non riesco a dimostrarlo.

Spero di aver postato nella sezione giusta..
grazie e a presto!
:)

Talete
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Re: Numeri cortesi e scortesi

Messaggio da Talete » 15 nov 2017, 14:21

La somma dei numeri da $1$ ad $n$ si può scrivere come $n(n+1)/2$. Quindi i numeri cortesi sono quei numeri $\mathcal C$ che per certi $m$ ed $n$ si possono scrivere come
\[\mathcal C = \frac{n(n+1)}2-\frac{m(m+1)}2=\frac{(n-m)(n+m+1)}2.\]
Adesso, $n-m$ e $n+m+1$ hanno differenti parità: il che vuol dire che visto che, scritto $\mathcal C=2^\alpha\cdot D$ con $D$ dispari, si deve avere
\[2^{\alpha+1}\cdot D =(n-m)(n+m+1)\]
e il fattore $2^{\alpha+1}$ deve andare in uno solo dei due fattori. Se $D=1$ (caso delle potenze di due), vuol dire che uno dei fattori tra $n-m$ e $n+m+1$ deve essere uguale a $1$: non può essere $n+m+1=1$ quindi $n-m=1$, ma il problema chiede che siano somma di due o più numeri consecutivi: se $n-m=1$ vuol dire che dalla somma $1+2+\ldots+n$ tolgo $1+2+\ldots+(n-1)$ e quindi rimane un solo numero, assurdo.
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
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Michael Pasquini
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Re: Numeri cortesi e scortesi

Messaggio da Michael Pasquini » 15 nov 2017, 18:27

Ma così hai dimostrato "solo" che non possono essere cortesi i le potenze di due, ma non che lo sono tutti gli altri

C3POletto
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Re: Numeri cortesi e scortesi

Messaggio da C3POletto » 15 nov 2017, 19:20

Testo nascosto:
Utilizzando le stesse lettere di Talete differenziamo due casi:
[math] e [math]
Nel primo caso poni [math] e [math]
Nel secondo caso poni [math] e [math]

seant
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Re: Numeri cortesi e scortesi

Messaggio da seant » 15 nov 2017, 21:36

grazie mille
non avevo pensato alla formula di Gauss

seant
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Re: Numeri cortesi e scortesi

Messaggio da seant » 15 nov 2017, 21:38

Michael Pasquini ha scritto:
15 nov 2017, 18:27
Ma così hai dimostrato "solo" che non possono essere cortesi i le potenze di due, ma non che lo sono tutti gli altri
gli altri numeri si dimostrano molto semplicemente con i numeri figurati

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Lasker
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Re: Numeri cortesi e scortesi

Messaggio da Lasker » 15 nov 2017, 22:05

seant ha scritto:gli altri numeri si dimostrano molto semplicemente con i numeri figurati
Se è chiaro a te... Io sinceramente non ho idea di cosa tu stia intendendo
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

seant
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Re: Numeri cortesi e scortesi

Messaggio da seant » 15 nov 2017, 22:23

Lasker ha scritto:
15 nov 2017, 22:05
seant ha scritto:gli altri numeri si dimostrano molto semplicemente con i numeri figurati
Se è chiaro a te... Io sinceramente non ho idea di cosa tu stia intendendo
https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_figurato

Talete
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Re: Numeri cortesi e scortesi

Messaggio da Talete » 16 nov 2017, 19:31

Michael Pasquini ha scritto:
15 nov 2017, 18:27
Ma così hai dimostrato "solo" che non possono essere cortesi i le potenze di due, ma non che lo sono tutti gli altri
Sí infatti io avevo capito che la richiesta era solo questa. Comunque mi pare che la cosa di @C3POletto funzioni, avevo pensato a qualcosa di simile
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo

Michael Pasquini
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Re: Numeri cortesi e scortesi

Messaggio da Michael Pasquini » 18 nov 2017, 16:06

Si ho letto ora il commento di C3POletto e funziona

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