OliForum Matematico

Sia $p$ un primo dispari. Trovare il più piccolo intero positivo $n$ tale che esistono due polinomi $f(x)$ e $g(x)$ per cui
\[n=(x-1)\cdot f(x)+(x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots+x+1)\cdot g(x).\]

Salvador ha scritto: ↑13 nov 2017, 14:39

Testo nascosto:

$n=1$. Con $f(x)=\sum_{i=0}^{p-2}{\frac{i+1-p}{p} x^i}$ e $g(x)=\frac{1}{p}$, ho $n=1$. [\hide]

Ok. ma che procedimento hai usato per risolverlo ?

Nadal21 ha scritto: ↑13 nov 2017, 16:13

Salvador ha scritto: ↑13 nov 2017, 14:39

Testo nascosto:

$n=1$. Con $f(x)=\sum_{i=0}^{p-2}{\frac{i+1-p}{p} x^i}$ e $g(x)=\frac{1}{p}$, ho $n=1$. [\hide]

Ok. ma che procedimento hai usato per risolverlo ?

Nessuno. Ho messo $g(x)$ costante e l'ho trovato

A coefficienti interi i polinomi

Talete ha scritto: ↑13 nov 2017, 18:10 A coefficienti interi i polinomi

Allora poni $x=1$ e hai $n=p g(1)$, ovvero $n \geq p$. Ora con $g(x)=1$ e $f(x)$ come nella soluzione di prima va sempre bene, quindi $n=p$.