Stima rumena

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Talete
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Stima rumena

Messaggio da Talete » 11 nov 2017, 20:46

Dimostrare che
\[\frac12+\frac13+\frac15+\ldots+\frac1p<10,\]
dove $p$ è il più grande primo minore di $2^{100}$.
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo

Gerald Lambeau
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Re: Stima rumena

Messaggio da Gerald Lambeau » 11 nov 2017, 22:03

Curioso, stavo cercando problemi sui primi e proprio poco fa mi sono imbattuto nello stesso problema, ma con $8$ al posto di $10$...
"Non ho rispetto per i miei superiori, figurati se ho rispetto per i miei pari: il rispetto di un uomo lo merita solo chi è a lui inferiore."
Cit. Marco (mio vero nome)

The Game.

Ci sono cose che non si possono confutare; per tutto il resto, c'è la fisica.

Talete
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Re: Stima rumena

Messaggio da Talete » 12 nov 2017, 11:07

Ma infatti la stima è migliorabilissima. Mi pare che la migliore costante sia intorno a $7.6188$ (è $\sqrt[7]{3533040}-1$).
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Re: Stima rumena

Messaggio da Talete » 12 nov 2017, 12:04

Come mi suggerisce Gerald Lambeau, con il teorema di Mertens (che non è l'attaccante del Napoli) si può ottenere che la somma a lhs è minore di
\[\ln \ln 2^{100}+0.27+\frac{4}{\ln (2^{100}+1)}+\frac{2}{2^{100}\ln(2^{100})}<4.57.\]
Ma la mia stima si raggiunge in modo completamente elementare :D
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