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Dalla condizione $\chi(m,n)>0$ ricaviamo $m<n\sqrt{23}$
Sostituendo direttamente $\chi(m,n)$ nella disuguaglianza richiesta, otteniamo $$mn\cdot \left(\sqrt{23}-\frac{m}{n}\right)>3\Rightarrow m^2-n\sqrt{23}\cdot m +3<0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow \frac{n\sqrt{23}- \sqrt{23n^2-12}}{2}<m<\frac{n\sqrt{23}+\sqrt{23n^2-12}}{2}<n\sqrt{23}.$$

induzione?

Considero la funzione $ mnX(m,n)>0 \longrightarrow mn\sqrt{23}-m^2>0 $; questa assume valore minimi all'aumentare di $ m $ e per valori di $ n $ piccoli, quindi essendo interi positivi prendo $ n=1 $ e $ m=4 $ che è l'intero che si avvicina d più a $ \sqrt{23} $ quindi il valore minimo della funzione è $ 4(\sqrt{23}-4) $, ora con un passaggio poco elegante mi calcolo $ \sqrt{368}-16 $, a tentativi capisco che il quadrato piùvicino a $ 368 $ è $ 19^2=361 $ quindi il risultato è poco maggiore di $ 3 $.
Da qui $ mnX(m,n)>3 $.(premetto che sono alle prime armi e sono sicuro che ci sia un metodo migliore ma volevo provare)