Palindromo

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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il filosofo
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Palindromo

Messaggio da il filosofo » 22 set 2017, 17:42

Può un numero composto scrivendo i numeri da 1 a n uno di fianco all'altro essere palindromo?

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GiOvy_27_13
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Re: Palindromo

Messaggio da GiOvy_27_13 » 23 set 2017, 18:04

Ovviamente si suppone [math].
Testo nascosto:
La risposta è:
  • NO, lavorando in basi [math]
  • SI in base [math]
Supponiamo [math], e supponiamo per assurdo che esista un numero palindromo [math] formato dalle cifre di tutti i numeri da [math] a [math] scritti in ordine uno di fianco all'altro.

[math]

I ... rappresentano cifre e [math] rappresenta la cifra "[math]".

Dalla scrittura di [math] notiamo che [math] deve finire per [math] , quindi [math] finisce per [math] e da ciò deriva che la prima cifra di [math] è una cifra che precede uno [math] nella scrittura di [math], quindi le cifre [math] di [math] sono almeno [math] .

Consideriamo il numero [math] composto da solo cifre "[math]" tale che [math] e [math] sia il più grande possibile; quindi ha o tante cifre quante [math] , cioè [math] , oppure una in meno, [math] .

Questo numero e il suo successivo, in [math] formano una stringa di [math] o [math] cifre "[math]" consecutive, che è la più lunga stringa di soli "[math]" alla quale contribuiscono solo due numeri, infatti due numeri consecutivi danno luogo a una stringa lunga al massimo [math] cifre che non possono essere tutte uguali altrimenti i numeri coinciderebbero, quindi la massima stringa di cifre uguali è lunga [math]. Nel secondo caso, si ha per forza [math]...[math] , dove i ... rappresentano solo cifre "[math]" , altrimenti si ricadrebbe nel primo caso. questo comporta che due numeri consecutivi di [math] cifre formano una stringa di cifre uguali lunga al massimo la distanza tra i due "[math]" nella stringa, cioè [math] .
Consideriamo dunque due numeri consecutivi lunghi [math] cifre; con ragionamento analogo al precedente si ottiene che la stringa più lunga di cifre uguali è lunga al massimo [math]

La stringa di "[math]" di lunghezza massima formata da due numeri è unica, infatti esistesse un'altra stringa con la cifra successiva diversa da [math] e/o la cifra precedente diversa da [math], i numeri che la formano non sarebbero più consecutivi.

Tre (o più) numeri consecutivi non possono formare una stringa di cifre uguali poiché l'ultima cifra del primo numero è diversa dall'ultima cifra del numero centrale, quindi la stringa formata da [math] e [math] è la stringa di "[math]" più lunga in [math] e non ne esistono altre (sempre di "[math]") di lunghezza uguale.

Ciò implica che il centro di [math] si trova nell'[math] centrale della stringa di "[math]" (ha lunghezza dispari perchè è uguale o a [math] o a [math]); però la cifra precedente la stringa è uno "[math]" e quella successiva è un "[math]", quindi [math] non è più palindromo e abbiamo un assurdo.

Con [math] , ad esempio [math] rende il numero palindromo ([math]).
"Al mondo tutti hanno un nome, tranne ."

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