La risposta è:
- NO, lavorando in basi [math]b\geq3
Supponiamo
[math]b\neq2, e supponiamo per assurdo che esista un numero palindromo
[math]P formato dalle cifre di tutti i numeri da
[math]1 a
[math]n scritti in ordine uno di fianco all'altro.
[math]P=12\dots(b-1)10\dots01(b-1)....21
I ... rappresentano cifre e [math](b-1) rappresenta la cifra "[math](b-1)".
Dalla scrittura di
[math]P notiamo che
[math]n deve finire per
[math]\dots21 , quindi
[math]n-1 finisce per
[math]\dots20 e da ciò deriva che la prima cifra di
[math]n è una cifra che precede uno
[math]0 nella scrittura di
[math]P, quindi le cifre
[math]c di
[math]n sono almeno
[math]c\geq (b-1)+1=b .
Consideriamo il numero
[math]U composto da solo cifre "
[math]1" tale che
[math]U<n e
[math]U sia il più grande possibile; quindi ha o tante cifre quante
[math]n , cioè
[math]c , oppure una in meno,
[math]c-1 .
Questo numero e il suo successivo, in
[math]P formano una stringa di
[math]2c-1 o
[math]2c-3 cifre "
[math]1" consecutive, che è la più lunga stringa di soli "
[math]1" alla quale contribuiscono solo due numeri, infatti due numeri consecutivi danno luogo a una stringa lunga al massimo
[math]2c cifre che non possono essere tutte uguali altrimenti i numeri coinciderebbero, quindi la massima stringa di cifre uguali è lunga
[math]2c-1. Nel secondo caso, si ha per forza
[math]n=1...[math]0\dots21 , dove i
... rappresentano
solo cifre "
[math]1" , altrimenti si ricadrebbe nel primo caso. questo comporta che due numeri consecutivi di
[math]c cifre formano una stringa di cifre uguali lunga al massimo la distanza tra i due "
[math]0" nella stringa, cioè
[math]c .
Consideriamo dunque due numeri consecutivi lunghi
[math]c-1 cifre; con ragionamento analogo al precedente si ottiene che la stringa più lunga di cifre uguali è lunga al massimo
[math]2(c-1)-1=2c-3.
La stringa di "
[math]1" di lunghezza massima formata da due numeri è unica, infatti esistesse un'altra stringa con la cifra successiva diversa da
[math]2 e/o la cifra precedente diversa da
[math]0, i numeri che la formano non sarebbero più consecutivi.
Tre (o più) numeri consecutivi non possono formare una stringa di cifre uguali poiché l'ultima cifra del primo numero è diversa dall'ultima cifra del numero centrale, quindi la stringa formata da
[math]U e
[math]U+1 è la stringa di "
[math]1" più lunga in
[math]P e non ne esistono altre (sempre di "
[math]1") di lunghezza uguale.
Ciò implica che il centro di
[math]P si trova nell'
[math]1 centrale della stringa di "
[math]1" (ha lunghezza dispari perchè è uguale o a
[math]2c-1 o a
[math]2c-3); però la cifra precedente la stringa è uno "
[math]0" e quella successiva è un "
[math]2", quindi
[math]P non è più palindromo e abbiamo un assurdo.
Con
[math]b=2 , ad esempio
[math]n=11 rende il numero palindromo (
[math]n=11 \Rightarrow P=11011).