Prodotto di cinque numeri

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
Titti24
Messaggi: 3
Iscritto il: 07 mar 2017, 17:01

Prodotto di cinque numeri

Messaggio da Titti24 »

Dimostrare che il prodotto di cinque numeri interi positivi consecutivi non puó essere un quadrato perfetto.
Avatar utente
Pit
Messaggi: 23
Iscritto il: 22 ago 2017, 10:22

Re: Prodotto di cinque numeri

Messaggio da Pit »

Testo nascosto:
$n(n+1)(n+2)(n+3)=(n^2+3n+1)^2-1$
Nessuno :?:
Vinci
Messaggi: 159
Iscritto il: 30 gen 2015, 18:38

Re: Prodotto di cinque numeri

Messaggio da Vinci »

Pit ha scritto: 22 set 2017, 18:17
Testo nascosto:
$n(n+1)(n+2)(n+3)=(n^2+3n+1)^2-1$
$5$ numeri consecutivi, non $4$
Avatar utente
GiOvy_27_13
Messaggi: 27
Iscritto il: 09 mag 2017, 20:45
Località: Polverara City

Re: Prodotto di cinque numeri

Messaggio da GiOvy_27_13 »

Testo nascosto:
Chiamiamo [math] , con [math] (stiamo lavorando in [math]) e [math].

Nella dimostrazione supporremo per assurdo che [math] sia un quadrato.

Innanzitutto dimostriamo che [math] non può essere un quadrato.
[math]
, dove le disuguaglianze sono sempre vere perché [math].

Dato che [math] non è mai un quadrato, esiste (almeno) un primo [math] tale che [math]

Supponiamo [math], quindi [math] , il che è assurdo perché [math] dev'essere un quadrato; quindi [math] e [math].

Supponiamo [math], questo implica [math] , il che è assurdo perché [math] dev'essere un quadrato.

Supponiamo [math] , assurdo perché [math], quindi [math].

Osserviamo che ogni primo [math] divide al massimo uno dei 5 fattori di [math], e dato che [math] è un quadrato allora [math].
Inoltre, avendo 5 termini consecutivi, si ha [math], ma essendo [math] il termine centrale, [math] e quindi [math] e [math].

Dalle considerazioni precedenti segue che si può scrivere [math] (con [math] dispari), quindi [math].

Ora abbiamo due casi:
  • [math]
  • [math]
Se [math], allora [math] e [math], inoltre [math] e [math], quindi sia [math] che [math] sono dei quadrati perfetti, il che è assurdo.

Se [math], allora [math] . Questo implica [math], quindi [math] è un quadrato, e [math] , quindi poiché [math] , [math] . Dunque sia [math] che [math] sono quadrati, e questo ha come unica soluzione [math] che non è accettabile perché [math].

Dunque [math] non può essere un quadrato perfetto.
...mi è piaciuto :D
"Al mondo tutti hanno un nome, tranne ."
Talete
Messaggi: 745
Iscritto il: 05 giu 2014, 13:47
Località: Riva del Garda

Re: Prodotto di cinque numeri

Messaggio da Talete »

Rilancio: dimostrare che il prodotto di $n$ interi consecutivi non può essere una potenza $k$-esima perfetta, con $n>1$ e $k>1$.
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
darkcrystal
Messaggi: 706
Iscritto il: 14 set 2005, 11:39
Località: Chiavari

Re: Prodotto di cinque numeri

Messaggio da darkcrystal »

Wait, stai davvero chiedendo quello che penso tu stia chiedendo? Cioè Erdös-Selfridge? Tra quando questo fatto è stato congetturato e quando è stato dimostrato sono passate svariate decine di anni, non so se sia del livello giusto per questo forum...
(Per inciso, facciamo interi positivi, giusto per evitare banalità)
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein

Membro dell'EATO
Talete
Messaggi: 745
Iscritto il: 05 giu 2014, 13:47
Località: Riva del Garda

Re: Prodotto di cinque numeri

Messaggio da Talete »

darkcrystal ha scritto: 24 set 2017, 20:43 Wait, stai davvero chiedendo quello che penso tu stia chiedendo? Cioè Erdös-Selfridge? Tra quando questo fatto è stato congetturato e quando è stato dimostrato sono passate svariate decine di anni, non so se sia del livello giusto per questo forum...
(Per inciso, facciamo interi positivi, giusto per evitare banalità)
Sì, era Erdős-Selfridge che avevo in mente ;)

Okay, forse è un po' esagerato... però la versione con $k=2$ dovrebbe essere fattibile, o sbaglio? Si può provare quella :D
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
Avatar utente
Lasker
Messaggi: 440
Iscritto il: 02 mag 2013, 20:47
Località: Udine

Re: Prodotto di cinque numeri

Messaggio da Lasker »

Ti direi che in generale è una pessima idea postare problemi rimasti aperti per un po' dopo essere stati congetturati, ma in passato ho fatto esattamente lo stesso e quindi non posso parlare :oops:
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
Giovanni_98
Messaggi: 69
Iscritto il: 10 apr 2015, 18:19

Re: Prodotto di cinque numeri

Messaggio da Giovanni_98 »

Talete ha scritto: 25 set 2017, 06:41
darkcrystal ha scritto: 24 set 2017, 20:43 Wait, stai davvero chiedendo quello che penso tu stia chiedendo? Cioè Erdös-Selfridge? Tra quando questo fatto è stato congetturato e quando è stato dimostrato sono passate svariate decine di anni, non so se sia del livello giusto per questo forum...
(Per inciso, facciamo interi positivi, giusto per evitare banalità)
Sì, era Erdős-Selfridge che avevo in mente ;)

Okay, forse è un po' esagerato... però la versione con $k=2$ dovrebbe essere fattibile, o sbaglio? Si può provare quella :D
In realtà penso sia la più difficile. Per $k>2$ ed $n>3$ basta il postulato di Bertrand. Per $n\leq 2$ ovviamente la tesi è banalmente dimostrabile.
darkcrystal
Messaggi: 706
Iscritto il: 14 set 2005, 11:39
Località: Chiavari

Re: Prodotto di cinque numeri

Messaggio da darkcrystal »

Calma calma calma! A me sembra sia tutto difficilissimo, ma sarà solo che sono scarso :shock: . Come fai a cavartela con il postulato di Bertrand quando $n>3, k>2$? E comunque sì, anche la versione $k=2$ tanto facile non è... Se volete qualche esercizio olimpico in questa direzione potete guardare http://www.turgor.ru/lktg/2008/1/1-1en.pdf, che non arriva a coprire i vostri casi cosiddetti "facili" :?, ma contiene parecchie considerazioni interessanti.
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein

Membro dell'EATO
Giovanni_98
Messaggi: 69
Iscritto il: 10 apr 2015, 18:19

Re: Prodotto di cinque numeri

Messaggio da Giovanni_98 »

Si dark mi devi scusare, ho detto una baggianata di proporzioni stellari, ovviamente hai ragione te. :)
Talete
Messaggi: 745
Iscritto il: 05 giu 2014, 13:47
Località: Riva del Garda

Re: Prodotto di cinque numeri

Messaggio da Talete »

Lasker ha scritto: 25 set 2017, 11:00 Ti direi che in generale è una pessima idea postare problemi rimasti aperti per un po' dopo essere stati congetturati, ma in passato ho fatto esattamente lo stesso e quindi non posso parlare :oops:
Sempre meglio di postare problemi ancora aperti :)
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
Titti24
Messaggi: 3
Iscritto il: 07 mar 2017, 17:01

Re: Prodotto di cinque numeri

Messaggio da Titti24 »

eeh, ci ho messo una vita a capire la soluzione di GiOvy, non so se pubblicheró altri problemi, mi sa che non sono proprio al livello del forum... :lol:
cmq i video basic mi sono stati molto utili soprattutto per capire la notazione della valutazione p-adica...
Rispondi