Prodotto di cinque numeri

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Titti24
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Prodotto di cinque numeri

Messaggio da Titti24 » 20 set 2017, 19:18

Dimostrare che il prodotto di cinque numeri interi positivi consecutivi non puó essere un quadrato perfetto.

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Pit
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Re: Prodotto di cinque numeri

Messaggio da Pit » 22 set 2017, 18:17

Testo nascosto:
$n(n+1)(n+2)(n+3)=(n^2+3n+1)^2-1$
Nessuno :?:

Vinci
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Re: Prodotto di cinque numeri

Messaggio da Vinci » 22 set 2017, 18:42

Pit ha scritto:
22 set 2017, 18:17
Testo nascosto:
$n(n+1)(n+2)(n+3)=(n^2+3n+1)^2-1$
$5$ numeri consecutivi, non $4$

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GiOvy_27_13
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Re: Prodotto di cinque numeri

Messaggio da GiOvy_27_13 » 23 set 2017, 15:40

Testo nascosto:
Chiamiamo [math] , con [math] (stiamo lavorando in [math]) e [math].

Nella dimostrazione supporremo per assurdo che [math] sia un quadrato.

Innanzitutto dimostriamo che [math] non può essere un quadrato.
[math]
, dove le disuguaglianze sono sempre vere perché [math].

Dato che [math] non è mai un quadrato, esiste (almeno) un primo [math] tale che [math]

Supponiamo [math], quindi [math] , il che è assurdo perché [math] dev'essere un quadrato; quindi [math] e [math].

Supponiamo [math], questo implica [math] , il che è assurdo perché [math] dev'essere un quadrato.

Supponiamo [math] , assurdo perché [math], quindi [math].

Osserviamo che ogni primo [math] divide al massimo uno dei 5 fattori di [math], e dato che [math] è un quadrato allora [math].
Inoltre, avendo 5 termini consecutivi, si ha [math], ma essendo [math] il termine centrale, [math] e quindi [math] e [math].

Dalle considerazioni precedenti segue che si può scrivere [math] (con [math] dispari), quindi [math].

Ora abbiamo due casi:
  • [math]
  • [math]
Se [math], allora [math] e [math], inoltre [math] e [math], quindi sia [math] che [math] sono dei quadrati perfetti, il che è assurdo.

Se [math], allora [math] . Questo implica [math], quindi [math] è un quadrato, e [math] , quindi poiché [math] , [math] . Dunque sia [math] che [math] sono quadrati, e questo ha come unica soluzione [math] che non è accettabile perché [math].

Dunque [math] non può essere un quadrato perfetto.
...mi è piaciuto :D
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Talete
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Re: Prodotto di cinque numeri

Messaggio da Talete » 24 set 2017, 17:29

Rilancio: dimostrare che il prodotto di $n$ interi consecutivi non può essere una potenza $k$-esima perfetta, con $n>1$ e $k>1$.
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darkcrystal
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Re: Prodotto di cinque numeri

Messaggio da darkcrystal » 24 set 2017, 20:43

Wait, stai davvero chiedendo quello che penso tu stia chiedendo? Cioè Erdös-Selfridge? Tra quando questo fatto è stato congetturato e quando è stato dimostrato sono passate svariate decine di anni, non so se sia del livello giusto per questo forum...
(Per inciso, facciamo interi positivi, giusto per evitare banalità)
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Talete
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Re: Prodotto di cinque numeri

Messaggio da Talete » 25 set 2017, 06:41

darkcrystal ha scritto:
24 set 2017, 20:43
Wait, stai davvero chiedendo quello che penso tu stia chiedendo? Cioè Erdös-Selfridge? Tra quando questo fatto è stato congetturato e quando è stato dimostrato sono passate svariate decine di anni, non so se sia del livello giusto per questo forum...
(Per inciso, facciamo interi positivi, giusto per evitare banalità)
Sì, era Erdős-Selfridge che avevo in mente ;)

Okay, forse è un po' esagerato... però la versione con $k=2$ dovrebbe essere fattibile, o sbaglio? Si può provare quella :D
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Lasker
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Re: Prodotto di cinque numeri

Messaggio da Lasker » 25 set 2017, 11:00

Ti direi che in generale è una pessima idea postare problemi rimasti aperti per un po' dopo essere stati congetturati, ma in passato ho fatto esattamente lo stesso e quindi non posso parlare :oops:
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Re: Prodotto di cinque numeri

Messaggio da Giovanni_98 » 25 set 2017, 21:16

Talete ha scritto:
25 set 2017, 06:41
darkcrystal ha scritto:
24 set 2017, 20:43
Wait, stai davvero chiedendo quello che penso tu stia chiedendo? Cioè Erdös-Selfridge? Tra quando questo fatto è stato congetturato e quando è stato dimostrato sono passate svariate decine di anni, non so se sia del livello giusto per questo forum...
(Per inciso, facciamo interi positivi, giusto per evitare banalità)
Sì, era Erdős-Selfridge che avevo in mente ;)

Okay, forse è un po' esagerato... però la versione con $k=2$ dovrebbe essere fattibile, o sbaglio? Si può provare quella :D
In realtà penso sia la più difficile. Per $k>2$ ed $n>3$ basta il postulato di Bertrand. Per $n\leq 2$ ovviamente la tesi è banalmente dimostrabile.

darkcrystal
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Re: Prodotto di cinque numeri

Messaggio da darkcrystal » 25 set 2017, 22:49

Calma calma calma! A me sembra sia tutto difficilissimo, ma sarà solo che sono scarso :shock: . Come fai a cavartela con il postulato di Bertrand quando $n>3, k>2$? E comunque sì, anche la versione $k=2$ tanto facile non è... Se volete qualche esercizio olimpico in questa direzione potete guardare http://www.turgor.ru/lktg/2008/1/1-1en.pdf, che non arriva a coprire i vostri casi cosiddetti "facili" :?, ma contiene parecchie considerazioni interessanti.
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Giovanni_98
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Re: Prodotto di cinque numeri

Messaggio da Giovanni_98 » 26 set 2017, 11:30

Si dark mi devi scusare, ho detto una baggianata di proporzioni stellari, ovviamente hai ragione te. :)

Talete
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Re: Prodotto di cinque numeri

Messaggio da Talete » 26 set 2017, 15:32

Lasker ha scritto:
25 set 2017, 11:00
Ti direi che in generale è una pessima idea postare problemi rimasti aperti per un po' dopo essere stati congetturati, ma in passato ho fatto esattamente lo stesso e quindi non posso parlare :oops:
Sempre meglio di postare problemi ancora aperti :)
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Re: Prodotto di cinque numeri

Messaggio da Titti24 » 28 set 2017, 20:01

eeh, ci ho messo una vita a capire la soluzione di GiOvy, non so se pubblicheró altri problemi, mi sa che non sono proprio al livello del forum... :lol:
cmq i video basic mi sono stati molto utili soprattutto per capire la notazione della valutazione p-adica...

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