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Sia $m$ un numero intero multiplo di $6$ tale che $m+1$, $2m+1$ e $3m+1$ siano tutti primi. Sia $N=(m+1)(2m+1)(3m+1)$. Trovare tutti gli interi $a$ tali che $N$ non divide $a^{N}-a$.

Dimostro che non ci sono soluzioni, ovvero che $N$ divide $a^N-a$ per ogni intero $a$.
Mi basta quindi verificare che $p$, $q$ e $r$ dividono $a^N-a$
Scrivo quindi
$$pq-1=\frac{(r+4)(r-1)}{6}$$
$$pr-1=\frac{(q-1)(3q+5)}{4}$$
$$qr-1=(6p-1)(p-1)$$
Dove tutte le quantità sono intere per come è definito $m$.
Applico ora il Piccolo Teorema di Fermat
$$a^{pqr}\equiv a \iff a^{pq-1}\equiv 1 \iff a^{\frac{(r+4)(r-1)}{6}} \equiv 1 \pmod r$$
che è vero sempre per il Piccolo Teorema di Fermat.
Analogamente
$$a^{pqr}\equiv a \pmod q$$
e
$$a^{pqr}\equiv a \pmod p$$
e quindi si ha la tesi.

Sembra a posto. Prova a dimostrarla anche in un altro modo, usando questo lemma (da dimostrare anch'esso): dato un intero $N$ libero da quadrati, allora $N$ divide $a^N-a$ per ogni $a$ se e solo se $p-1$ divide $N-1$ per ogni primo $p$ che divide $N$.