Le differenze quadrano
- Gerald Lambeau
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Le differenze quadrano
Siano $x, y$ interi positivi tali che $3x^2+x=4y^2+y$.
Dimostrare che $x-y$ è un quadrato perfetto.
Dimostrare che $x-y$ è un quadrato perfetto.
"If only I could be so grossly incandescent!"
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Re: Le differenze quadrano
Ci provo.
Allora riscrivo l'espressione come
$3x^2+x=3y^2+y^2+y $
poi isolo $y^2$ al $RHS$
e ottengo
$3x^2+x-3y^2-y=y^2$.
Metto a fattor comune e scompongo:
$3(x^2-y^2)+x-y=y^2$
ovvero
$3(x+y)(x-y)+(x-y)=y^2$
ed ora al $LHS $ posso raccogliere $x-y$ per ottenere
$(x-y)(3x+3y+1)=y^2$.
Poniamo $MCD(x-y,3x+3y+1)=d$
dimostreremo che $d=1$; infatti
poichè $d^{2}$ divide anche $y^2$, avremo che $d $ divide
$y$, ma allora $d|x-y+y=x$ e ció implica che essendo sia $x $ che $y $ dei multipli di $d $ allora lo è anche la loro somma ovvero $x+y $ e piú in particolare anche $3x+3y $, ma noi sappiamo anche che $d|3x+3y+1$, dunque
$d$ divide anche la loro differenza ossia $d|3x+3y+1-3x-3y=1$ ossia
$d=1$ che è quanto volevamo dimostrare.
Ora il fatto che $d=1$ ossia che
$MCD (x-y,3x+3y+1)=1$ mi implica che entrambi i fattori devono essere dei quadrati in quanto se ci fosse un numero primo che compare con esponente dispari in uno due fattori, poichè nell'altro fattore non puó esserci (poichè il loro $MCD=1$) nel risultato comparirà quindi con esponente dispari, ma il risultato è un quadrato e la scomposizione dei quadrati è fatta da numeri primi con esponenti pari, quindi si cadrebbe in un assurdo, per cui $x-y $ deve essere un quadrato (e lo stesso per $3x+3y+1$ anche se non è richiesto dal problema).
Allora riscrivo l'espressione come
$3x^2+x=3y^2+y^2+y $
poi isolo $y^2$ al $RHS$
e ottengo
$3x^2+x-3y^2-y=y^2$.
Metto a fattor comune e scompongo:
$3(x^2-y^2)+x-y=y^2$
ovvero
$3(x+y)(x-y)+(x-y)=y^2$
ed ora al $LHS $ posso raccogliere $x-y$ per ottenere
$(x-y)(3x+3y+1)=y^2$.
Poniamo $MCD(x-y,3x+3y+1)=d$
dimostreremo che $d=1$; infatti
poichè $d^{2}$ divide anche $y^2$, avremo che $d $ divide
$y$, ma allora $d|x-y+y=x$ e ció implica che essendo sia $x $ che $y $ dei multipli di $d $ allora lo è anche la loro somma ovvero $x+y $ e piú in particolare anche $3x+3y $, ma noi sappiamo anche che $d|3x+3y+1$, dunque
$d$ divide anche la loro differenza ossia $d|3x+3y+1-3x-3y=1$ ossia
$d=1$ che è quanto volevamo dimostrare.
Ora il fatto che $d=1$ ossia che
$MCD (x-y,3x+3y+1)=1$ mi implica che entrambi i fattori devono essere dei quadrati in quanto se ci fosse un numero primo che compare con esponente dispari in uno due fattori, poichè nell'altro fattore non puó esserci (poichè il loro $MCD=1$) nel risultato comparirà quindi con esponente dispari, ma il risultato è un quadrato e la scomposizione dei quadrati è fatta da numeri primi con esponenti pari, quindi si cadrebbe in un assurdo, per cui $x-y $ deve essere un quadrato (e lo stesso per $3x+3y+1$ anche se non è richiesto dal problema).
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Re: Le differenze quadrano
Bonus Question: Mostrare che $x-y$ non è mai un quadrato perfetto.
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $
- Gerald Lambeau
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Re: Le differenze quadrano
Ah, ops, ho sbagliato un conto in un passaggio
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $
- Gerald Lambeau
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Re: Le differenze quadrano
Vabbè dai, ve lo do io un bonus interessante: trovare tutte le soluzioni intere positive.
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Re: Le differenze quadrano
Testo nascosto: