Dimostriamo innanzitutto che $v_p(n)\leq 1\ \forall p$, e in particolare $v_2(n)=1$
Ciò è vero perchè se per qualche primo $p$ avessimo che $a=v_p(n)\geq 2$, detto $m$ il numero di divisori di $n$ non divisibili per $p$, avremmo $am\geq 2m$ divisori di $n$ divisibili per $p$. Ma allora almeno una delle coppie sarebbe composta da due multipli diversi di $p$, e la loro somma sarebbe multipla di $p$ e maggiore di $p$ stesso, quindi composta. Invece è necessario che $n$ sia pari perché altrimenti tutti i suoi divisori sarebbero dispari, e di conseguenza qualsiasi somma pari, assurdo.
Dunque $n=2p_1p_2\cdots p_k$ per qualche $k$ naturale e $p_i$ primi, e quindi tutti i suoi divisori sono della forma $\displaystyle\prod_{i\in I}p_i$ o $2\displaystyle\prod_{i\in I}p_i$ per qualche $I\subseteq \{1,2,\ldots ,k\}$
Notiamo che, se $|I|=c$, $\displaystyle\prod_{i\in I}p_i$ può stare in coppia solo con $\displaystyle2\prod_{i\in J}p_i$, dove $J\subseteq \{1,2,\ldots ,k\}$ tale che $|J|\leq k-c$ e che $I\cap J=\emptyset$, altrimenti avremmo almeno uno dei $p_i$, che compare in entrambi i prodotti, quindi la loro somma sarebbe multipla di tale primo.
Dimostriamo per induzione estesa su $a$ che $\displaystyle\prod_{i\in I}p_i$ è in coppia con $\displaystyle2\prod_{i\not\in I}p_i$, dove $|I|=n-a$
Passo base: $a=0$
$\displaystyle\prod_{i=1}^kp_i$ è dispari e multiplo di tutti i $p_i$, quindi va necessariamente accoppiato con $2$.
Passo induttivo: $|I|=k-(a+1)$
Per le osservazioni di prima, è necessario che il divisore che prendiamo sia pari, l'insieme di indici dei primi abbia cardinalità minore o uguale a $k-(k-(a+1))=a+1$ , e abbia intersezione vuota con $I$. Ma per ipotesi induttiva tutti gli insiemi di cardinalità minore di $a+1$ sono già stati usati per tutti gli insiemi di cardinalità maggiore di $k-(a+1)$, per cui serve che la cardinalità sia proprio uguale ad $a+1$. L'unico di questi insiemi che ha intersezione vuota con $I$ è proprio $\{1,2,\ldots ,k\}\backslash I$.
Dimostriamo adesso che tutte le somme sono distinte.
In ognuna di esse, abbiamo che il prodotto dei due addendi è costante (in particolare uguale ad $n$). Ma somma e prodotto definiscono univocamente due numeri (a meno di loro permutazioni), per cui se avessimo due somme uguali, anche gli addendi dovrebbero essere a due a due uguali, assurdo perchè stiamo prendendo ogni divisore una sola volta.
Per dimostrare che nessuna di esse divide $n$, sapendo che sono tutte dispari, basta dimostrare che sono coprime con ogni $p_i$. Adesso, se $i\in I$ la somma è coprima con $p_i$ perchè il primo addendo è un suo multiplo mentre il secondo no, se invece $i\not\in I$, il secondo addendo è multiplo di $p_i$, mentre il primo no, quindi la somma è coprima con $p_i$ anche in questo caso.
Mi dispiace se non è chiarissima
Spero che almeno sia giusta.