Cose in comune

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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matpro98
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Cose in comune

Messaggio da matpro98 » 07 set 2017, 13:59

Dimostrare che per $a,b,c $ interi $$\dfrac {mcm (a,b) mcm (b,c) mcm (c,a)} {mcm(a,b,c)^2}$$ e $$\dfrac{MCD(a,b) MCD (b,c) MCD(c,a)}{MCD (a,b,c)^2}$$ sono interi uguali tra loro

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Pit
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Re: Cose in comune

Messaggio da Pit » 10 set 2017, 13:26

Fissato un $p$ primo siano $x:=v_p(a), y:=v_p(b)$ e $z:=v_p(c)$ e supponiamo $x\geq y\geq z$, allora si ha $$v_p(\dfrac {mcm (a,b) mcm (b,c) mcm (c,a)} {mcm(a,b,c)^2})=\dfrac {x^2y} {x^2}=y$$e$$v_p(\dfrac{MCD(a,b) MCD (b,c) MCD(c,a)}{MCD (a,b,c)^2})=\dfrac{yz^2}{z^2}=y$$ sono quindi interi e coincidono.
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