Cose in comune

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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matpro98
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Cose in comune

Messaggio da matpro98 » 07 set 2017, 13:59

Dimostrare che per $a,b,c $ interi $$\dfrac {mcm (a,b) mcm (b,c) mcm (c,a)} {mcm(a,b,c)^2}$$ e $$\dfrac{MCD(a,b) MCD (b,c) MCD(c,a)}{MCD (a,b,c)^2}$$ sono interi uguali tra loro

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Pit
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Re: Cose in comune

Messaggio da Pit » 10 set 2017, 13:26

Fissato un $p$ primo siano $x:=v_p(a), y:=v_p(b)$ e $z:=v_p(c)$ e supponiamo $x\geq y\geq z$, allora si ha $$v_p(\dfrac {mcm (a,b) mcm (b,c) mcm (c,a)} {mcm(a,b,c)^2})=2x+y-2x=y\geq 0$$e$$v_p(\dfrac{MCD(a,b) MCD (b,c) MCD(c,a)}{MCD (a,b,c)^2})=2z+y-2z=y\geq 0$$ sono quindi interi e coincidono.
Ultima modifica di Pit il 08 dic 2017, 11:54, modificato 1 volta in totale.
Nessuno :?:

Salvador
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Re: Cose in comune

Messaggio da Salvador » 08 dic 2017, 11:13

Non è $2x+y-2x$ e $2z+y-2z$?

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Pit
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Re: Cose in comune

Messaggio da Pit » 08 dic 2017, 11:54

Sì, ho corretto
Nessuno :?:

Matimil8
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Re: Cose in comune

Messaggio da Matimil8 » 15 dic 2017, 17:13

Scusate ma non ho capito alcune cose:
• Cosa si intende per $ MCD(a,b,c)^2$? Si intende il quadrato dell'MCD oppure L'MCD del quadrato?
• Perchè le due espressioni sono intere?
• Come si deduce esattamente che una valutazione
p-adica è $2x+y-2x $ e che l'altra è $2z+y-2z$

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Lasker
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Re: Cose in comune

Messaggio da Lasker » 15 dic 2017, 18:16

Beh la seconda delle due cosa cosa starebbe a significare? Qual è il quadrato di $(a,b,c)$? In ogni caso intende prima fare il massimo comun divisore e poi elevare questo valore al quadrato.
Considera $p_1,...,p_k$ come l'insieme dei primi che dividono almeno uno tra $a,b$ e $c$, scrivi dunque: $$a=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdot\cdot\cdot p_k^{\alpha_k}$$
$$b=p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}\cdot\cdot\cdot p_k^{\beta_k}$$
$$c=p_1^{\gamma_1}p_2^{\gamma_2}\cdot\cdot\cdot p_k^{\gamma_k}$$
Dove gli esponenti possono essere anche zero, e scrivi esplicitamente le due quantità in funzione dei primi. Se ti sembra troppo pesante partire con questo puoi prima dimostrare $\textrm{MCD}(a,b)\textrm{mcm}(a,b)=ab$, che anche se non va usato nella dimostrazione viene allo stesso modo.
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

Matimil8
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Re: Cose in comune

Messaggio da Matimil8 » 15 dic 2017, 18:55

Sí, ora mi torna grazie Lasker; non ho fatto esattamente quello che hai detto, cioè non l'ho scritto in forma estesa, ma ho sfruttato la tua idea della fattorizzazione in primi dei tre numeri $a,b,c $ per rifare il calcolo di Pit e mi torna esattamente come lui, ovvero lui dimostra che ogni primo compare con lo stesso esponente in un'espressione e nell'altra e poi ho dimostrato (si fa facilmente, ed ecco forse perchè non era scritto, il fatto che entrambe le espressioni sono intere). Grazie :D

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