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Salve, stavo guardando la videolezione riguardo al problema, quando lo speaker ha detto qualcosa che non mi torna, ovvero che c'è una bigettività tra x e il suo reciproco nel simbolo di Legendre [math]\frac{1-x^2}{p}. Utilizzando le proprietà di questo, però, ottengo che [math]\frac{1-x^2}{p}=-\frac{1-\frac{1}{x^2}}{p}. Il problema è all'incirca al minuto 53-55. Qualcuno riesce ad aiutarmi?

L'uguaglianza che hai scritto tu è vera, ed infatti viene usata nello svolgere la somma.
Il discorso sul reciproco serve per "reindicizzare" la somma, nel senso che la funzione $x^{-1}$ è una permutazione delle classi non nulle, e quindi...