Pagina 1 di 1

When you don't have a clue how to solve it

Inviato: 02 lug 2017, 21:59
da Vinci
Determinare quanti sono gli interi positivi $n$ minori di $2017$ tali che $$1+n+\frac{n^2}{2!}+\frac{n^3}{3!}+\frac{n^4}{4!}+\frac{n^5}{5!}+\frac{n^6}{6!}$$ è intero.

Re: When you don't have a clue how to solve it

Inviato: 02 lug 2017, 22:38
da Veritasium
Quanti? $30k$ funziona banalmente, quindi infiniti

Edit: e se ci fossero stati dei puntini, quella cosa è semplicemente $e^n$ che è intera solo per $n = 0$ (tanto per ucciderlo, per Lindemann-Weierstrass)

Re: When you don't have a clue how to solve it

Inviato: 03 lug 2017, 01:35
da Vinci
Si, perdonami, ho dimenticato un'ipotesi xD
Ora correggo.

Re: When you don't have a clue how to solve it

Inviato: 03 lug 2017, 09:46
da Sirio
Testo nascosto:
$6!|n^6$ e su questo non c'è dubbio.
$6!=2^4\cdot3^2\cdot5$ e neanche su questo c'è dubbio.
È necessario e sufficiente affinché $6!|n^6$ che $30|n$,
perché in $30$ compaiono tutti e soli i fattori primi di $6!$ elevati alla prima, quindi in $n^6$ comparirebbero elevati almeno alla sesta e $6$ è maggiore di ciascuno degli esponenti che compaiono nella fattorizzazione di $6!$.
$30|n$ è quindi necessario affinché quella somma sia intera. Sostituendo $n=30k$ e svolgendo i conti si trova che viene sempre intero, quindi è anche sufficiente. Quindi sono solo i multipli di $30$, che da (suppongo $0$, il testo non è chiaro) a $2017$ sono $ceil\left(\dfrac{2017}{30}\right)=68$.

Re: When you don't have a clue how to solve it

Inviato: 03 lug 2017, 10:22
da Vinci
Si, hai ragione, gli interi sono positivi, ora correggo. In ogni caso, non so perché, ma la tua soluzione non si trova, metto il numero che è la soluzione qua
Testo nascosto:
$134$

Re: When you don't have a clue how to solve it

Inviato: 03 lug 2017, 11:17
da mr96
Sirio ha scritto:
03 lug 2017, 09:46
$6!|n^6$ e su questo non c'è dubbio.
L'errore sta qui.
Testo nascosto:
Per tirare un numero a caso $1584$ funziona, per esempio

Re: When you don't have a clue how to solve it

Inviato: 03 lug 2017, 14:50
da Sirio
Orco boia hai ragione

Re: When you don't have a clue how to solve it

Inviato: 06 lug 2017, 08:59
da FedeX333X
Metto qualche hint per una soluzione meno brutale

Hint
Testo nascosto:
Potrebbe essere una buona idea fare l'mcm degli ultimi due termini e scriverli come un'unica frazione (perché solo di questi?!?)
Hint
Testo nascosto:
Quel numeratore deve essere divisibile per $720$... Potremmo provare a guardare le congruenze modulo $2,3$ e $5$. Perché bastano queste? E cosa ce ne facciamo di queste congruenze?

Hint
Testo nascosto:
O, meglio, di questo sistema di congruenze... *triggered*
Hint
Testo nascosto:
Ed ora è il momento del Teorema Cinese del Resto, da cui...
Hint
Testo nascosto:
Si trova facilmente (forse) che $n \equiv 0, 24$. Perchè abbiamo trovato due valori? Di solito se ne trova solo uno utilizzando il TCR... Non abbiamo sbagliato qualcosa? O forse ci siamo persi un pezzo prima?
Hint
Testo nascosto:
Quanti sono quindi i valori di $n$ che vanno bene?
$67+67=134$

Re: When you don't have a clue how to solve it

Inviato: 08 set 2017, 00:42
da FedeX333X
E questo diventò un problema del Senior :P