OliForum Matematico

$6!|n^6$ e su questo non c'è dubbio.
$6!=2^4\cdot3^2\cdot5$ e neanche su questo c'è dubbio.
È necessario e sufficiente affinché $6!|n^6$ che $30|n$,
perché in $30$ compaiono tutti e soli i fattori primi di $6!$ elevati alla prima, quindi in $n^6$ comparirebbero elevati almeno alla sesta e $6$ è maggiore di ciascuno degli esponenti che compaiono nella fattorizzazione di $6!$.
$30|n$ è quindi necessario affinché quella somma sia intera. Sostituendo $n=30k$ e svolgendo i conti si trova che viene sempre intero, quindi è anche sufficiente. Quindi sono solo i multipli di $30$, che da (suppongo $0$, il testo non è chiaro) a $2017$ sono $ceil\left(\dfrac{2017}{30}\right)=68$.

$134$

Per tirare un numero a caso $1584$ funziona, per esempio

Potrebbe essere una buona idea fare l'mcm degli ultimi due termini e scriverli come un'unica frazione (perché solo di questi?!?)

Quel numeratore deve essere divisibile per $720$... Potremmo provare a guardare le congruenze modulo $2,3$ e $5$. Perché bastano queste? E cosa ce ne facciamo di queste congruenze?

O, meglio, di questo sistema di congruenze... *triggered*

Ed ora è il momento del Teorema Cinese del Resto, da cui...

Si trova facilmente (forse) che $n \equiv 0, 24$. Perchè abbiamo trovato due valori? Di solito se ne trova solo uno utilizzando il TCR... Non abbiamo sbagliato qualcosa? O forse ci siamo persi un pezzo prima?

Quanti sono quindi i valori di $n$ che vanno bene?
$67+67=134$