When you don't have a clue how to solve it

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
Vinci
Messaggi: 146
Iscritto il: 30 gen 2015, 18:38

When you don't have a clue how to solve it

Messaggio da Vinci » 02 lug 2017, 21:59

Determinare quanti sono gli interi positivi $n$ minori di $2017$ tali che $$1+n+\frac{n^2}{2!}+\frac{n^3}{3!}+\frac{n^4}{4!}+\frac{n^5}{5!}+\frac{n^6}{6!}$$ è intero.
Ultima modifica di Vinci il 03 lug 2017, 10:23, modificato 2 volte in totale.

Veritasium
Messaggi: 6
Iscritto il: 30 ago 2016, 11:38

Re: When you don't have a clue how to solve it

Messaggio da Veritasium » 02 lug 2017, 22:38

Quanti? $30k$ funziona banalmente, quindi infiniti

Edit: e se ci fossero stati dei puntini, quella cosa è semplicemente $e^n$ che è intera solo per $n = 0$ (tanto per ucciderlo, per Lindemann-Weierstrass)

Vinci
Messaggi: 146
Iscritto il: 30 gen 2015, 18:38

Re: When you don't have a clue how to solve it

Messaggio da Vinci » 03 lug 2017, 01:35

Si, perdonami, ho dimenticato un'ipotesi xD
Ora correggo.

Avatar utente
Sirio
Messaggi: 195
Iscritto il: 08 set 2016, 22:01

Re: When you don't have a clue how to solve it

Messaggio da Sirio » 03 lug 2017, 09:46

Testo nascosto:
$6!|n^6$ e su questo non c'è dubbio.
$6!=2^4\cdot3^2\cdot5$ e neanche su questo c'è dubbio.
È necessario e sufficiente affinché $6!|n^6$ che $30|n$,
perché in $30$ compaiono tutti e soli i fattori primi di $6!$ elevati alla prima, quindi in $n^6$ comparirebbero elevati almeno alla sesta e $6$ è maggiore di ciascuno degli esponenti che compaiono nella fattorizzazione di $6!$.
$30|n$ è quindi necessario affinché quella somma sia intera. Sostituendo $n=30k$ e svolgendo i conti si trova che viene sempre intero, quindi è anche sufficiente. Quindi sono solo i multipli di $30$, che da (suppongo $0$, il testo non è chiaro) a $2017$ sono $ceil\left(\dfrac{2017}{30}\right)=68$.
シリオ
$T=\sqrt{\dfrac l g 12\pi}$

Vinci
Messaggi: 146
Iscritto il: 30 gen 2015, 18:38

Re: When you don't have a clue how to solve it

Messaggio da Vinci » 03 lug 2017, 10:22

Si, hai ragione, gli interi sono positivi, ora correggo. In ogni caso, non so perché, ma la tua soluzione non si trova, metto il numero che è la soluzione qua
Testo nascosto:
$134$

mr96
Messaggi: 123
Iscritto il: 05 gen 2015, 01:07

Re: When you don't have a clue how to solve it

Messaggio da mr96 » 03 lug 2017, 11:17

Sirio ha scritto:
03 lug 2017, 09:46
$6!|n^6$ e su questo non c'è dubbio.
L'errore sta qui.
Testo nascosto:
Per tirare un numero a caso $1584$ funziona, per esempio

Avatar utente
Sirio
Messaggi: 195
Iscritto il: 08 set 2016, 22:01

Re: When you don't have a clue how to solve it

Messaggio da Sirio » 03 lug 2017, 14:50

Orco boia hai ragione
シリオ
$T=\sqrt{\dfrac l g 12\pi}$

FedeX333X
Messaggi: 38
Iscritto il: 04 giu 2017, 16:34

Re: When you don't have a clue how to solve it

Messaggio da FedeX333X » 06 lug 2017, 08:59

Metto qualche hint per una soluzione meno brutale

Hint
Testo nascosto:
Potrebbe essere una buona idea fare l'mcm degli ultimi due termini e scriverli come un'unica frazione (perché solo di questi?!?)
Hint
Testo nascosto:
Quel numeratore deve essere divisibile per $720$... Potremmo provare a guardare le congruenze modulo $2,3$ e $5$. Perché bastano queste? E cosa ce ne facciamo di queste congruenze?

Hint
Testo nascosto:
O, meglio, di questo sistema di congruenze... *triggered*
Hint
Testo nascosto:
Ed ora è il momento del Teorema Cinese del Resto, da cui...
Hint
Testo nascosto:
Si trova facilmente (forse) che $n \equiv 0, 24$. Perchè abbiamo trovato due valori? Di solito se ne trova solo uno utilizzando il TCR... Non abbiamo sbagliato qualcosa? O forse ci siamo persi un pezzo prima?
Hint
Testo nascosto:
Quanti sono quindi i valori di $n$ che vanno bene?
$67+67=134$

FedeX333X
Messaggi: 38
Iscritto il: 04 giu 2017, 16:34

Re: When you don't have a clue how to solve it

Messaggio da FedeX333X » 08 set 2017, 00:42

E questo diventò un problema del Senior :P

Rispondi

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 3 ospiti