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Very cute problem

Inviato: 30 giu 2017, 07:54
da FloatingPoint
Problema bello e non difficile. Forse qualcuno lo conosce già.
Sia $r>1$ un irrazionale. Definiamo la sequenza
$$ R = (\lfloor r \rfloor, \lfloor 2r \rfloor, \lfloor 3r \rfloor,\ldots) $$
Sia ora $S$ la sequenza di interi positivi tale che:
  • $S$ è strettamente crescente
  • $S\cap R = \varnothing$
  • $S\cup R = \mathbb Z_+$
Dimostrare che si ha
$$ S = (\lfloor s \rfloor, \lfloor 2s \rfloor, \lfloor 3s\rfloor,\ldots) $$
per qualche irrazionale $s$.

EDIT: un piccolo hint:
Testo nascosto:
Naccarato

Re: Very cute problem

Inviato: 30 giu 2017, 18:38
da Gerald Lambeau
Mi trovo d'accordo con il titolo, davvero un bel problema (a meno che non abbia cannato tutto :lol: ).
Testo nascosto:
$s=\dfrac{r}{r-1}$ (e quindi vale anche il viceversa).
Testo nascosto:
Allora possiamo dire WLOG $1<r<2$ e $2<s$ e il problema si divide in due fasi.
Testo nascosto:
Mostrare che non esistono interi positivi $n, m$ tali che $\lfloor ns \rfloor=\lfloor mr \rfloor$.
Testo nascosto:
Questo io l'ho fatto dividendo in tre casi: $m<n, m=n, m>n$.
Testo nascosto:
Basta sostituire cose e con agevoli rimaneggiamenti algebrici su bellissime disuguaglianza dovrebbe tornare tutto.
Testo nascosto:
Attenti a non fare come me che stavo quasi per abbandonare il problema perché c'erano degli uguali noiosi, l'irrazionalità di $r$ e $s$ porta le disuguaglianze con dei razionali ad essere strette.
Testo nascosto:
Ora dobbiamo mostrare che così mappiamo tutto $\mathbb{Z^+}$.
Testo nascosto:
Diciamo che le parti intere dei multipli interi di $r$ partono dai $1$ e vanno avanti in genere di uno in uno, e ogni tanto saltano di due
Testo nascosto:
Con $s$ si dovrà saltare da un valore mancato all'altro.
Testo nascosto:
Se $n$ è tale che $\lfloor nr \rfloor=m-1$ e $\lfloor (n+1) r \rfloor =m+1$ ho che, chiamando $\lfloor n(r-1) \rfloor=k$...
Testo nascosto:
...allora con $l=k+1$ dovrebbe essere (sempre che non abbia cannato le disuguaglianze) $\lfloor ls \rfloor=m$, e quindi abbiamo finito.
PS: perché quell'hint? :lol:

Re: Very cute problem

Inviato: 30 giu 2017, 19:01
da Drago96
Giusto per dare un nome alle cose ;)
https://en.wikipedia.org/wiki/Beatty_sequence

Re: Very cute problem

Inviato: 30 giu 2017, 19:07
da Gerald Lambeau
Interessante!
A giudicare dalle dimostrazioni che propone Wikipedia, direi che anche la mia è giusta.

Re: Very cute problem

Inviato: 30 giu 2017, 20:18
da FloatingPoint
Gerald Lambeau ha scritto:
30 giu 2017, 19:07
Interessante!
A giudicare dalle dimostrazioni che propone Wikipedia, direi che anche la mia è giusta.
Forse non ho ben capito, ma non credo tu possa
Testo nascosto:
fare un WLOG che scambia $r$ e $s$
ma quasi non lo usi, quindi va bene.
Chiaramente
Testo nascosto:
Naccarato $\to$ densità asintotica $\to$ formula esplicita per $s$

Re: Very cute problem

Inviato: 30 giu 2017, 20:35
da Gerald Lambeau
FloatingPoint ha scritto:
30 giu 2017, 20:18
Forse non ho ben capito, ma non credo tu possa
Testo nascosto:
fare un WLOG che scambia $r$ e $s$
ma quasi non lo usi, quindi va bene.
Ma sì, se $1<r<2$ scrivo $r=1+e$ con $0<e<1$ e quindi $s=\dfrac{r}{r-1}=\dfrac{1+e}{e}=\dfrac{e}{e}+\dfrac{1}{e}=1+\dfrac{1}{e}$ e siccome $e<1$ ho $\dfrac{1}{e}>1$ quindi $s>2$.
Se invece $r>2$ scrivo $r=2+e$ con $0<e$ e quindi $s=\dfrac{r}{r-1}=\dfrac{2+e}{1+e}=\dfrac{2(1+e)-e}{1+e}=\dfrac{2(1+e)}{1+e}-\dfrac{e}{1+e}=2-\dfrac{e}{1+e}$, ma ovviamente $0<\dfrac{e}{1+e}<1$ perché $e>0$ quindi $1<s<2$.

Ne ho sempre uno maggiore di $2$ e uno compreso tra $1$ e $2$. Se $1<r<2$ allora la mia dimostrazione va bene e mi dice che per $r$ la scelta è $s=\dfrac{r}{r-1}$, ma mi dice anche che per $s>2$ la scelta è $r=\dfrac{s}{s-1}$, quindi in realtà se fosse $r>2$ saprei già che scelta fare.
Sì ok, magari non li prendo tutti, ma per risolvere quello mi basta mostrare la biettività di $\dfrac{x}{x-1}$ per $x>1$.

Re: Very cute problem

Inviato: 30 giu 2017, 20:45
da FloatingPoint
Gerald Lambeau ha scritto:
30 giu 2017, 20:35
[...]
Ne ho sempre uno maggiore di $2$ e uno compreso tra $1$ e $2$. Se $1<r<2$ allora la mia dimostrazione va bene e mi dice che per $r$ la scelta è $s=\dfrac{r}{r-1}$, ma mi dice anche che per $s>2$ la scelta è $r=\dfrac{s}{s-1}$, quindi in realtà se fosse $r>2$ saprei già che scelta fare.
Sì ok, magari non li prendo tutti, ma per risolvere quello mi basta mostrare la biettività di $\dfrac{x}{x-1}$ per $x>1$.
Sì, in effetti hai perfettamente ragione