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Very cute problem
Inviato: 30 giu 2017, 07:54
da FloatingPoint
Problema bello e non difficile. Forse qualcuno lo conosce già.
Sia $r>1$ un irrazionale. Definiamo la sequenza
$$ R = (\lfloor r \rfloor, \lfloor 2r \rfloor, \lfloor 3r \rfloor,\ldots) $$
Sia ora $S$ la sequenza di interi positivi tale che:
- $S$ è strettamente crescente
Dimostrare che si ha
$$ S = (\lfloor s \rfloor, \lfloor 2s \rfloor, \lfloor 3s\rfloor,\ldots) $$
per qualche irrazionale $s$.
EDIT: un piccolo hint:
Re: Very cute problem
Inviato: 30 giu 2017, 18:38
da Gerald Lambeau
Mi trovo d'accordo con il titolo, davvero un bel problema (a meno che non abbia cannato tutto
).
PS: perché quell'hint?
Re: Very cute problem
Inviato: 30 giu 2017, 19:01
da Drago96
Re: Very cute problem
Inviato: 30 giu 2017, 19:07
da Gerald Lambeau
Interessante!
A giudicare dalle dimostrazioni che propone Wikipedia, direi che anche la mia è giusta.
Re: Very cute problem
Inviato: 30 giu 2017, 20:18
da FloatingPoint
Gerald Lambeau ha scritto: ↑30 giu 2017, 19:07
Interessante!
A giudicare dalle dimostrazioni che propone Wikipedia, direi che anche la mia è giusta.
Forse non ho ben capito, ma non credo tu possa
ma quasi non lo usi, quindi va bene.
Chiaramente
Re: Very cute problem
Inviato: 30 giu 2017, 20:35
da Gerald Lambeau
FloatingPoint ha scritto: ↑30 giu 2017, 20:18
Forse non ho ben capito, ma non credo tu possa
ma quasi non lo usi, quindi va bene.
Ma sì, se $1<r<2$ scrivo $r=1+e$ con $0<e<1$ e quindi $s=\dfrac{r}{r-1}=\dfrac{1+e}{e}=\dfrac{e}{e}+\dfrac{1}{e}=1+\dfrac{1}{e}$ e siccome $e<1$ ho $\dfrac{1}{e}>1$ quindi $s>2$.
Se invece $r>2$ scrivo $r=2+e$ con $0<e$ e quindi $s=\dfrac{r}{r-1}=\dfrac{2+e}{1+e}=\dfrac{2(1+e)-e}{1+e}=\dfrac{2(1+e)}{1+e}-\dfrac{e}{1+e}=2-\dfrac{e}{1+e}$, ma ovviamente $0<\dfrac{e}{1+e}<1$ perché $e>0$ quindi $1<s<2$.
Ne ho sempre uno maggiore di $2$ e uno compreso tra $1$ e $2$. Se $1<r<2$ allora la mia dimostrazione va bene e mi dice che per $r$ la scelta è $s=\dfrac{r}{r-1}$, ma mi dice anche che per $s>2$ la scelta è $r=\dfrac{s}{s-1}$, quindi in realtà se fosse $r>2$ saprei già che scelta fare.
Sì ok, magari non li prendo tutti, ma per risolvere quello mi basta mostrare la biettività di $\dfrac{x}{x-1}$ per $x>1$.
Re: Very cute problem
Inviato: 30 giu 2017, 20:45
da FloatingPoint
Gerald Lambeau ha scritto: ↑30 giu 2017, 20:35
[...]
Ne ho sempre uno maggiore di $2$ e uno compreso tra $1$ e $2$. Se $1<r<2$ allora la mia dimostrazione va bene e mi dice che per $r$ la scelta è $s=\dfrac{r}{r-1}$, ma mi dice anche che per $s>2$ la scelta è $r=\dfrac{s}{s-1}$, quindi in realtà se fosse $r>2$ saprei già che scelta fare.
Sì ok, magari non li prendo tutti, ma per risolvere quello mi basta mostrare la biettività di $\dfrac{x}{x-1}$ per $x>1$.
Sì, in effetti hai perfettamente ragione