Very cute problem

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
FloatingPoint
Messaggi: 22
Iscritto il: 18 lug 2016, 20:34

Very cute problem

Messaggio da FloatingPoint » 30 giu 2017, 07:54

Problema bello e non difficile. Forse qualcuno lo conosce già.
Sia $r>1$ un irrazionale. Definiamo la sequenza
$$ R = (\lfloor r \rfloor, \lfloor 2r \rfloor, \lfloor 3r \rfloor,\ldots) $$
Sia ora $S$ la sequenza di interi positivi tale che:
  • $S$ è strettamente crescente
  • $S\cap R = \varnothing$
  • $S\cup R = \mathbb Z_+$
Dimostrare che si ha
$$ S = (\lfloor s \rfloor, \lfloor 2s \rfloor, \lfloor 3s\rfloor,\ldots) $$
per qualche irrazionale $s$.

EDIT: un piccolo hint:
Testo nascosto:
Naccarato

Gerald Lambeau
Messaggi: 288
Iscritto il: 17 mag 2015, 13:32

Re: Very cute problem

Messaggio da Gerald Lambeau » 30 giu 2017, 18:38

Mi trovo d'accordo con il titolo, davvero un bel problema (a meno che non abbia cannato tutto :lol: ).
Testo nascosto:
$s=\dfrac{r}{r-1}$ (e quindi vale anche il viceversa).
Testo nascosto:
Allora possiamo dire WLOG $1<r<2$ e $2<s$ e il problema si divide in due fasi.
Testo nascosto:
Mostrare che non esistono interi positivi $n, m$ tali che $\lfloor ns \rfloor=\lfloor mr \rfloor$.
Testo nascosto:
Questo io l'ho fatto dividendo in tre casi: $m<n, m=n, m>n$.
Testo nascosto:
Basta sostituire cose e con agevoli rimaneggiamenti algebrici su bellissime disuguaglianza dovrebbe tornare tutto.
Testo nascosto:
Attenti a non fare come me che stavo quasi per abbandonare il problema perché c'erano degli uguali noiosi, l'irrazionalità di $r$ e $s$ porta le disuguaglianze con dei razionali ad essere strette.
Testo nascosto:
Ora dobbiamo mostrare che così mappiamo tutto $\mathbb{Z^+}$.
Testo nascosto:
Diciamo che le parti intere dei multipli interi di $r$ partono dai $1$ e vanno avanti in genere di uno in uno, e ogni tanto saltano di due
Testo nascosto:
Con $s$ si dovrà saltare da un valore mancato all'altro.
Testo nascosto:
Se $n$ è tale che $\lfloor nr \rfloor=m-1$ e $\lfloor (n+1) r \rfloor =m+1$ ho che, chiamando $\lfloor n(r-1) \rfloor=k$...
Testo nascosto:
...allora con $l=k+1$ dovrebbe essere (sempre che non abbia cannato le disuguaglianze) $\lfloor ls \rfloor=m$, e quindi abbiamo finito.
PS: perché quell'hint? :lol:
"Non ho rispetto per i miei superiori, figurati se ho rispetto per i miei pari: il rispetto di un uomo lo merita solo chi è a lui inferiore."
Cit. Marco (mio vero nome)

The Game.

Ci sono cose che non si possono confutare; per tutto il resto, c'è la fisica.

Avatar utente
Drago96
Messaggi: 1114
Iscritto il: 14 mar 2011, 16:57
Località: Provincia di Torino
Contatta:

Re: Very cute problem

Messaggio da Drago96 » 30 giu 2017, 19:01

Giusto per dare un nome alle cose ;)
https://en.wikipedia.org/wiki/Beatty_sequence
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)

Gerald Lambeau
Messaggi: 288
Iscritto il: 17 mag 2015, 13:32

Re: Very cute problem

Messaggio da Gerald Lambeau » 30 giu 2017, 19:07

Interessante!
A giudicare dalle dimostrazioni che propone Wikipedia, direi che anche la mia è giusta.
"Non ho rispetto per i miei superiori, figurati se ho rispetto per i miei pari: il rispetto di un uomo lo merita solo chi è a lui inferiore."
Cit. Marco (mio vero nome)

The Game.

Ci sono cose che non si possono confutare; per tutto il resto, c'è la fisica.

FloatingPoint
Messaggi: 22
Iscritto il: 18 lug 2016, 20:34

Re: Very cute problem

Messaggio da FloatingPoint » 30 giu 2017, 20:18

Gerald Lambeau ha scritto:
30 giu 2017, 19:07
Interessante!
A giudicare dalle dimostrazioni che propone Wikipedia, direi che anche la mia è giusta.
Forse non ho ben capito, ma non credo tu possa
Testo nascosto:
fare un WLOG che scambia $r$ e $s$
ma quasi non lo usi, quindi va bene.
Chiaramente
Testo nascosto:
Naccarato $\to$ densità asintotica $\to$ formula esplicita per $s$

Gerald Lambeau
Messaggi: 288
Iscritto il: 17 mag 2015, 13:32

Re: Very cute problem

Messaggio da Gerald Lambeau » 30 giu 2017, 20:35

FloatingPoint ha scritto:
30 giu 2017, 20:18
Forse non ho ben capito, ma non credo tu possa
Testo nascosto:
fare un WLOG che scambia $r$ e $s$
ma quasi non lo usi, quindi va bene.
Ma sì, se $1<r<2$ scrivo $r=1+e$ con $0<e<1$ e quindi $s=\dfrac{r}{r-1}=\dfrac{1+e}{e}=\dfrac{e}{e}+\dfrac{1}{e}=1+\dfrac{1}{e}$ e siccome $e<1$ ho $\dfrac{1}{e}>1$ quindi $s>2$.
Se invece $r>2$ scrivo $r=2+e$ con $0<e$ e quindi $s=\dfrac{r}{r-1}=\dfrac{2+e}{1+e}=\dfrac{2(1+e)-e}{1+e}=\dfrac{2(1+e)}{1+e}-\dfrac{e}{1+e}=2-\dfrac{e}{1+e}$, ma ovviamente $0<\dfrac{e}{1+e}<1$ perché $e>0$ quindi $1<s<2$.

Ne ho sempre uno maggiore di $2$ e uno compreso tra $1$ e $2$. Se $1<r<2$ allora la mia dimostrazione va bene e mi dice che per $r$ la scelta è $s=\dfrac{r}{r-1}$, ma mi dice anche che per $s>2$ la scelta è $r=\dfrac{s}{s-1}$, quindi in realtà se fosse $r>2$ saprei già che scelta fare.
Sì ok, magari non li prendo tutti, ma per risolvere quello mi basta mostrare la biettività di $\dfrac{x}{x-1}$ per $x>1$.
"Non ho rispetto per i miei superiori, figurati se ho rispetto per i miei pari: il rispetto di un uomo lo merita solo chi è a lui inferiore."
Cit. Marco (mio vero nome)

The Game.

Ci sono cose che non si possono confutare; per tutto il resto, c'è la fisica.

FloatingPoint
Messaggi: 22
Iscritto il: 18 lug 2016, 20:34

Re: Very cute problem

Messaggio da FloatingPoint » 30 giu 2017, 20:45

Gerald Lambeau ha scritto:
30 giu 2017, 20:35
[...]
Ne ho sempre uno maggiore di $2$ e uno compreso tra $1$ e $2$. Se $1<r<2$ allora la mia dimostrazione va bene e mi dice che per $r$ la scelta è $s=\dfrac{r}{r-1}$, ma mi dice anche che per $s>2$ la scelta è $r=\dfrac{s}{s-1}$, quindi in realtà se fosse $r>2$ saprei già che scelta fare.
Sì ok, magari non li prendo tutti, ma per risolvere quello mi basta mostrare la biettività di $\dfrac{x}{x-1}$ per $x>1$.
Sì, in effetti hai perfettamente ragione

Rispondi

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 6 ospiti