OliForum Matematico

Fissato $n$ intero positivo, siano dati $d_1, d_2, \dots, d_n$ interi non negativi pari. Consideriamo la somma $a_1+a_2+\dots+a_n$ dove $a_i \in \mathbb{N}$ e $0 \le a_i \le d_i$ $\forall i=1, 2, \dots, n$. Sia $P$ il numero di $n$-uple $a_1, a_2, \dots, a_n$ tali che la somma sia pari e $D$ il numero di $n$-uple tali che la somma sia dispari.
Dimostrare che $D+1=P$.

Parto con $a_i$ massimo possibile $\forall i $ e scalando di $1$ ogni volta (non importa da quale $a_i $) ottengo tutti i valori. Si va da $\sum d_i $ a $0$ prendendo tutti i valori intermedi, ed essendo entrambi gli estremi pari, si ha $P=D+1$

Ups, mi sono accorto che l'ho scritta male, formulata così è banale scusate .

Ok, adesso il testo è giusto, scusate per il disagio e soprattutto scusa matpro98, comunque per come era il problema prima era giusta.

Ma tipo induzione lo uccide
Edit: Non sto facendo propaganda politica

Un'altra soluzione è la seguente: prendo $a_1$ e considero solo i valori per cui è $<d_1$, metà sono pari e metà sono dispari, quindi qualunque sia la scelta degli altri posso accoppiare ogni valore pari di $a_1$ con un dispari e quindi usarli per portare ogni somma che mi esce a dividersi in una metà con somma pari e una con somma dispari, quindi blocco $a_1=d_1$ e proseguo con $a_2$, così via finché non ho che sono tutti bloccati al massimo, che è una somma pari in più.

Ovviamente ho trovato anche quella per induzione che è ovvia, ma l'ho postato perché è comunque un fatto che può tornare utile, peccato non averlo potuto usare in gara.. prova a indovinare in quale problema l'ho usato (quando era troppo tardi).