Un immenso frutteto di mandarini in Abruzzo

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Federico II
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Un immenso frutteto di mandarini in Abruzzo

Messaggio da Federico II » 10 giu 2017, 13:05

🍊
Come molti, ma forse non tutti, ben sanno, ITA2 va matto per i mandarini! 🍊🍊🍊
Ne è così ghiotto che ne possiede un frutteto veramente immenso, che si estende infinitamente verso nord e verso ovest da casa sua (come tutti, ma stavolta proprio tutti, ben sanno, a est dell'Abruzzo c'è il mare e a sud non c'è niente :P ). Ci sono dunque infinite file, ognuna con infiniti alberi. Il fatto curioso è che ogni albero della prima fila contiene esattamente un mandarino, ogni albero della seconda fila ne contiene esattamente due, ogni albero della terza fila ne contiene esattamente tre, e così via per tutte le file.
Un giorno, l'amico ITA5 invia a ITA2 una sequenza infinita $x_1,x_2,x_3,\ldots$ di interi positivi. Allora ITA2, avendo voglia di mandarini, sceglie due interi positivi $a,b$ e poi va nel suo frutteto a raccoglierne un po'. Arriva all'inizio dell'$a$-esima fila, ma vede che quegli alberi sono ancora troppo spogli, così si muove ancora in avanti tra le file per altre $x_b$ file. Ora che vede degli alberi abbastanza carichi, può iniziare a spostarsi lungo la fila raccogliendo tutti i mandarini da alcuni alberi. Prima prende tutti quelli sui primi $b$ alberi della fila, poi vedendo che il suo cestino è ancora troppo vuoto va ancora avanti e prende tutti quelli sui successivi $x_a$ alberi della fila. Soddisfatto, torna di corsa a casa per mangiare i mandarini appena raccolti.
Arrivato a casa mangia un mandarino, ma quel mandarino non fa altro che aumentare ancora di più la sua voglia di mandarini, così ne mangia, tutti in una mangiata, altri tre. Non riesce più a fermarsi, e dopo quei tre ne mangia altri cinque tutti in una mangiata, poi continua: altri sette, poi altri nove, e così finché ce ne sono nel cestino.
La cosa sorprendente è che si ferma ad una mangiata esatta: c'è un momento in cui quando va a prendere i mandarini per una mangiata si accorge che nel cestino ce ne sono esattamente tanti quanti ne vuole (e quindi li prende tutti), non c'è mai un momento in cui vorrebbe, per una mangiata, più mandarini di quanti ce ne sono nel cestino (sempre se ancora il cestino non è vuoto).
Esterrefatto, ITA2 corre da ITA5 a raccontargli quella che a lui sembra una fortunata coincidenza, ma ITA5 non si mostra molto sorpreso: sa bene infatti che questo sarebbe successo per qualunque coppia $a,b$ scelta da ITA2.
Riuscite a capire quali sono tutte le possibili sequenze $x_1,x_2,x_3,\ldots$ che ITA5 potrebbe aver inviato a ITA2?
🍊
Il responsabile della sala seminari

Talete
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Re: Un immenso frutteto di mandarini in Abruzzo

Messaggio da Talete » 10 giu 2017, 14:30

La soluzione ha tanta voglia di essere
Testo nascosto:
$x_i=i+c$ con $c$ fissato.
Però boh, a parte l'ambientazione bellissima l'avevo già visto, lo lascio risolvere a gente per cui è nuovo.

EDIT: anzi no, lascio comunque un paio di hint
Testo nascosto:
La tesi è equivalente a trovare una funzione $f$ da $\mathbb{Z}_{>0}$ in sé tale che
\[[f(a)+b]\cdot[f(b)+a]\]
sia un quadrato perfetto per ogni $a$ e $b$.
Testo nascosto:
Dimostrare che se $p$ divide $f(a)-f(b)$, allora $p$ divide $a-b$ è utile.
Testo nascosto:
Per finire, mostrare che $f(n+1)=f(n)+1$ per ogni $n$.
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
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cip999
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Re: Un immenso frutteto di mandarini in Abruzzo

Messaggio da cip999 » 10 giu 2017, 15:43

Gnam :D
- E cosa c'è di peggio del suicidio?
- La vita.

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