Divisori ordinati sempre più a caso

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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FedeX333X
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Divisori ordinati sempre più a caso

Messaggio da FedeX333X » 06 giu 2017, 17:34

Un intero positivo $n$ è detto ordinato se e solo se ha almeno $6$ divisori positivi e tutti i divisori di $n$ strettamente minori di $\sqrt{n}$ costituiscono una progressione aritmetica. Quanti sono i numeri ordinati minori di $50.000$?

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Vinci
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Re: Divisori ordinati sempre più a caso

Messaggio da Vinci » 18 lug 2017, 12:14

Qualche hint?

FedeX333X
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Iscritto il: 04 giu 2017, 16:34

Re: Divisori ordinati sempre più a caso

Messaggio da FedeX333X » 18 lug 2017, 20:47

Vinci ha scritto:
18 lug 2017, 12:14
Qualche hint?
Testo nascosto:
Ad ogni divisore minore di $\sqrt{n}$ ne corrisponde uno ed uno solo maggiore di $\sqrt{n}$, quindi non possono essere poi "troppi"...
Testo nascosto:
... perché vogliamo che quelli minori di $\sqrt{n}$ formino una progressione aritmetica. Innanzitutto sicuramente $1$ è un divisore, ed è anche il primo termine della progressione aritmetica, e detto $d$ il secondo divisore più piccolo, si ha che anche $2d-1$ è un divisore di $n$, è così via (ma davvero "così via" quanto ci pare?).
Testo nascosto:
Se $n$ è pari, il secondo termine è $2$, ed il terzo $3$, è così via. Quanto possiamo continuare? Come detto sopra, i divisori minori di $\sqrt{n}$ sono quanti quelli maggiori di di $\sqrt{n}$, e non vogliamo che $n$ cresca troppo...
Testo nascosto:
Quanto possiamo andare avanti se $n$ è pari? Siamo furbi, e scegliamo $n$ come il mcm dei divisori minori di $\sqrt{n}$. All'inizio sembra convincere, ma ci accordiamo che non vogliamo troppi fattori primi in $n$ (perché? Cosa abbiamo contro i primi?), e siamo costretti a fermarci quasi subito... Parecchio piccolo $n$, vero?
Testo nascosto:
Tolto il caso in cui $n$ è pari, ci troviamo di fronte ad $n$ dispari. Cosa possiamo fare qui? Ricordiamoci che vogliamo sempre almeno $6$ divisori per $n$, la cui metà forma una progressione aritmetica. Quindi, non abbiamo mica tante possibilità per la fattorizzazione di $n$, i primi si allontanano "troppo velocemente" (in che senso? Ma davvero?)...
Testo nascosto:
Da cui, ci accorgiamo che in questo caso $n$ deve avere esattamente $6$ divisori, dunque è nella forma $p^2q$ e $pqr$ per dei primi $p,q,r$. E ricordiamoci che questi primi sono pure in progressione aritmetica, e che $n$ d'altronde è minore di $50,000$, quindi, non possono essere troppo grandi...
Testo nascosto:
E poiché nessuno chiede quali sono, ma quanti sono, possiamo facilmente vedere che abbiamo poche possibilità, adesso. La risposta è 5 numeri ordinati pari, e 8 dispari, per un totale di 13.
Ultima modifica di FedeX333X il 19 lug 2017, 10:51, modificato 1 volta in totale.

matpro98
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Re: Divisori ordinati sempre più a caso

Messaggio da matpro98 » 18 lug 2017, 22:31

Per il secondo hint, non dovrebbe essere $2d-1$?

FedeX333X
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Re: Divisori ordinati sempre più a caso

Messaggio da FedeX333X » 19 lug 2017, 10:51

matpro98 ha scritto:
18 lug 2017, 22:31
Per il secondo hint, non dovrebbe essere $2d-1$?
Si, certo, $2d+1$ non ha molto senso. Grazie, non mi ero accorto del typo, ho corretto.

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