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Quadrati razionali

Inviato: 31 mag 2017, 16:12
da Talete
Trovare tutte le terne $(a,b,c)$ di numeri razionali distinti tali che

\[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\]

è il quadrato perfetto di un numero razionale.

Re: Quadrati razionali

Inviato: 20 giu 2017, 23:17
da Ventu06
Testo nascosto:

Con un po' di conti si dimostra che, per $a \neq b$, $b \neq c$ e $c \neq a$,
$\dfrac{1}{(a−b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(c-a)^2}=\Bigg(\dfrac{1}{(a−b)}+\dfrac{1}{(b-c)}+\dfrac{1}{(c-a)}\Bigg)^2$

Dato che somme, prodotti e rapporti di numeri razionali sono numeri razionali, il $RHS$ sarà sempre un numero razionale, oltre che un quadrato.
Quindi ogni terna $(a,b,c)$ di numeri razionali distinti è soluzione.

Re: Quadrati razionali

Inviato: 21 giu 2017, 16:36
da nuoveolimpiadi1999
@Ventu06 la tua soluzione é molto sintetica e non capisco granché, puoi aggiungere piú dettagli?

Re: Quadrati razionali

Inviato: 21 giu 2017, 18:44
da Ventu06
Credo che siamo tutti d'accordo sul fatto che $\Bigg(\dfrac{1}{(a−b)}+\dfrac{1}{(b-c)}+\dfrac{1}{(c-a)}\Bigg)^2$ è il quadrato perfetto di un numero razionale ($a$,$b$,$c$ distinti).

Riguardo questa parte
$\dfrac{1}{(a−b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(c-a)^2}=\Bigg(\dfrac{1}{(a−b)}+\dfrac{1}{(b-c)}+\dfrac{1}{(c-a)}\Bigg)^2$
basta fare il minimo comune denominatore e svolgere i conti o darla in pasto a Wolfram Alpha per verificarla

Re: Quadrati razionali

Inviato: 21 giu 2017, 20:41
da Gerald Lambeau
Oppure ci accorgiamo che $\displaystyle \left( \frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a} \right)^2= \sum_{cyc} \frac{1}{(a-b)^2}+2\sum_{cyc}\left(\frac{1}{a-b} \cdot \frac{1}{b-c}\right)$ perché è il quadrato di un trinomio, quindi ci serve la seconda sommatoria ciclica uguale a $0$, e non mi sembrano tutti 'sti gran conti, perché al numeratore viene una cosa bella assai.