Quadrati razionali

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Talete
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Quadrati razionali

Messaggio da Talete » 31 mag 2017, 16:12

Trovare tutte le terne $(a,b,c)$ di numeri razionali distinti tali che

\[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\]

è il quadrato perfetto di un numero razionale.
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Ventu06
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Re: Quadrati razionali

Messaggio da Ventu06 » 20 giu 2017, 23:17

Testo nascosto:

Con un po' di conti si dimostra che, per $a \neq b$, $b \neq c$ e $c \neq a$,
$\dfrac{1}{(a−b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(c-a)^2}=\Bigg(\dfrac{1}{(a−b)}+\dfrac{1}{(b-c)}+\dfrac{1}{(c-a)}\Bigg)^2$

Dato che somme, prodotti e rapporti di numeri razionali sono numeri razionali, il $RHS$ sarà sempre un numero razionale, oltre che un quadrato.
Quindi ogni terna $(a,b,c)$ di numeri razionali distinti è soluzione.

nuoveolimpiadi1999
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Re: Quadrati razionali

Messaggio da nuoveolimpiadi1999 » 21 giu 2017, 16:36

@Ventu06 la tua soluzione é molto sintetica e non capisco granché, puoi aggiungere piú dettagli?

Ventu06
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Re: Quadrati razionali

Messaggio da Ventu06 » 21 giu 2017, 18:44

Credo che siamo tutti d'accordo sul fatto che $\Bigg(\dfrac{1}{(a−b)}+\dfrac{1}{(b-c)}+\dfrac{1}{(c-a)}\Bigg)^2$ è il quadrato perfetto di un numero razionale ($a$,$b$,$c$ distinti).

Riguardo questa parte
$\dfrac{1}{(a−b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(c-a)^2}=\Bigg(\dfrac{1}{(a−b)}+\dfrac{1}{(b-c)}+\dfrac{1}{(c-a)}\Bigg)^2$
basta fare il minimo comune denominatore e svolgere i conti o darla in pasto a Wolfram Alpha per verificarla

Gerald Lambeau
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Re: Quadrati razionali

Messaggio da Gerald Lambeau » 21 giu 2017, 20:41

Oppure ci accorgiamo che $\displaystyle \left( \frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a} \right)^2= \sum_{cyc} \frac{1}{(a-b)^2}+2\sum_{cyc}\left(\frac{1}{a-b} \cdot \frac{1}{b-c}\right)$ perché è il quadrato di un trinomio, quindi ci serve la seconda sommatoria ciclica uguale a $0$, e non mi sembrano tutti 'sti gran conti, perché al numeratore viene una cosa bella assai.
"Non ho rispetto per i miei superiori, figurati se ho rispetto per i miei pari: il rispetto di un uomo lo merita solo chi è a lui inferiore."
Cit. Marco (mio vero nome)

The Game.

Ci sono cose che non si possono confutare; per tutto il resto, c'è la fisica.

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