Determinare tutte le funzioni suriettive $f: \mathbb{Z^+} \rightarrow \mathbb{Z^+}$ tali che per ogni $m, n \in \mathbb{Z^+}$ vale che
$m \mid n \Leftrightarrow f(m)\mid f(n)$.
Funzione con soluzioni brutte a piacere
- Gerald Lambeau
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Re: Funzione con soluzioni brutte a piacere
Testo nascosto:
$T=\sqrt{\dfrac l g 12\pi}$
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Re: Funzione con soluzioni brutte a piacere
Ti invito a riflettere sul perché il tuo assurdo in realtà non è un assurdo.Sirio ha scritto: Osserviamo che, preso un primo $p$, si ha che $f\left(p\right)$ è primo. Per la (2) si ha che non è $1$,
quindi supporre l'assurdo equivale a supporre che sia composto, quindi che qualche primo $q$ lo divida. Detta $n$ una controimmagine di $q$, si dovrebbe avere $n|p$,
assurdo. (4)
Si può dimostrare una cosa più specifica di quello che scrivi tu in questo paragrafo. Ricordati che $f$ è suriettiva, e se ho ben capito quello che fai qui, qualche valore rischi di non prenderlo.Sirio ha scritto: Osserviamo che, per ogni primo $p$, si può definire una funzione $g_p:\mathbb{Z}^+\rightarrow\mathbb Z^+$ crescente (N.B. non necessariamente strettamente crescente) e suriettiva tale che $f\left(p^n\right)=f^{g_p\left(n \right)}\left(p\right)$ per ogni $n$ intero positivo. Infatti, deve essere crescente per l'ipotesi, mentre non possono esserci altri fattori primi che dividono $f\left(p^n\right)$ oltre ad $f\left(p \right)$, altrimenti la controimmagine di un fattore $q$ tra questi altri dovrebbe dividere $p$, cosa impossibile perché tale controimmagine è un primo diverso da $p$ per la (6). Infine, deve essere suriettiva perché se esistesse un intero $n$ senza controimmagini tramite $g_p$ allora $f\left(p\right)^n$ non avrebbe per controimmagine tramite $f$ una potenza di $p$, né $1$ per la (1). Una delle sue controimmagini deve quindi essere divisa da un primo diverso da $p$ che per ipotesi dovrebbe dividere $p^n$, assurdo.(7)
Se aggiusti queste due parti (la prima è vera, ma non si dimostra così, la seconda invece cambia) e modifichi il finale di conseguenza, hai concluso.
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