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Spero sia giusta la mia soluzione

Inviato: 29 mag 2017, 22:08
da Gerald Lambeau
Il fatto: durante il PreIMO l'esercizio N4 (che non riporterò perché non ricordo se è o no di una shortlist) ha portato me e uno dei miei compagni di stanza a chiederci se quanto sto per scrivere sia vero. Durante lo stage non siamo riusciti a venirne a capo, e l'effettiva risoluzione del problema passava per altre vie (i più curiosi dovranno aspettare che vengano pubblicate le lezioni dello stage per saperne di più).
Cosa è dunque successo?
Stamane, siccome non sapevo come passare le ore di scuola, ho iniziato a studiare il problema che sto per proporvi; finalmente, dopo cinque lunghe ore, di cui solo due passate a lavorare sul problema (una per i tentativi preliminari e l'altra per le idee [spero giuste] che hanno portato alla soluzione), mentre attendevo che il pullman arrivasse ho concluso la mia dimostrazione.
Ma sarà davvero valida? Sta a voi deciderlo!

Ecco dunque il tanto atteso PROBLEMA:
sia $n$ un intero positivo. Dimostrare che esiste un intero $m$ tale che il numero di soluzioni intere $(x, y)$ di
$x^2+xy+y^2=m$ sia maggiore di $n$.

La mia SOLUZIONE verrà pubblicata non appena avrò tempo e voglia di scriverla, nel frattempo vi lascio almeno il piacere di provarci da soli.

EDIT: la mia memoria corta aveva dimenticato le considerazioni che portavano a dire che il problema si riscriveva così. Ad ogni modo, l'idea del post non era quella di risolvere il problema, era sapere se la mia soluzione "di petto" fosse giusta, quindi è stato abbastanza inutile non scriverla. Sotto, in spoiler, l'idea della mia soluzione, che è piuttosto brutale devo dire.

Re: Spero sia vero

Inviato: 29 mag 2017, 22:13
da Talete
Gerald Lambeau ha scritto:
29 mag 2017, 22:08
uno dei miei compagni di stanza
<3



Testo nascosto:
Comunque boh, ne abbiamo già parlato prima quindi non so bene cosa dire. Più che altro, forse può tornare utile a qualcuno il fatto che
\[(2x+y)^2+3(y)^2=4(x^2+xy+y^2).\]
A questo punto prendo $y$ pari $=2k$ e devo dimostrare che esiste un $m$ tale che
\[A^2+3B^2=m\]
abbia $\ge n$ soluzioni.

Re: Spero sia vero

Inviato: 29 mag 2017, 22:24
da Gerald Lambeau
Aspetta, ma così non era come lo avevamo finito davvero? Allora tutto il mio post diventa inutile :oops: .
Cioè, no, però mi sono scordato di precisare una cosa: stavo cercando una soluzione che affrontasse il problema "di petto" e che non passasse per vie traverse (aka equazioni che iniziano a discostarsi da quella originale et similia. Per info, nella mia c'è al più un cambio di segno, che forse si può anche evitare).
Mi rendo conto che occorre qualche modifica al post originale, in più scrivo come ho provato ad affrontare il problema così se qualcuno vuole dirmi se è giusta può farlo (NON APRITE LO SPOILER se volete provare il problema da soli o con il metodo suggerito da Talete, MA solo se volete provare la mia soluzione, o vedere se già la conoscevate, e dirmi se è giusta o no):
Testo nascosto:
interi di Eisenstein

Re: Spero sia vero

Inviato: 29 mag 2017, 22:32
da Gerald Lambeau
Aggiungerei che se la mia è giusta si può ottenere (con del lavoro in più che io non ho voglia di fare) un risultato più forte: si può trovare il numero effettivo di soluzioni in funzione di $m$. Questo rende il post un pochino più interessante del problema originale, che risolto ponendo $y=2k$ non è detto che prenda tutte le soluzioni.