Spero sia giusta la mia soluzione
Inviato: 29 mag 2017, 22:08
Il fatto: durante il PreIMO l'esercizio N4 (che non riporterò perché non ricordo se è o no di una shortlist) ha portato me e uno dei miei compagni di stanza a chiederci se quanto sto per scrivere sia vero. Durante lo stage non siamo riusciti a venirne a capo, e l'effettiva risoluzione del problema passava per altre vie (i più curiosi dovranno aspettare che vengano pubblicate le lezioni dello stage per saperne di più).
Cosa è dunque successo?
Stamane, siccome non sapevo come passare le ore di scuola, ho iniziato a studiare il problema che sto per proporvi; finalmente, dopo cinque lunghe ore, di cui solo due passate a lavorare sul problema (una per i tentativi preliminari e l'altra per le idee [spero giuste] che hanno portato alla soluzione), mentre attendevo che il pullman arrivasse ho concluso la mia dimostrazione.
Ma sarà davvero valida? Sta a voi deciderlo!
Ecco dunque il tanto atteso PROBLEMA:
sia $n$ un intero positivo. Dimostrare che esiste un intero $m$ tale che il numero di soluzioni intere $(x, y)$ di
$x^2+xy+y^2=m$ sia maggiore di $n$.
La mia SOLUZIONE verrà pubblicata non appena avrò tempo e voglia di scriverla, nel frattempo vi lascio almeno il piacere di provarci da soli.
EDIT: la mia memoria corta aveva dimenticato le considerazioni che portavano a dire che il problema si riscriveva così. Ad ogni modo, l'idea del post non era quella di risolvere il problema, era sapere se la mia soluzione "di petto" fosse giusta, quindi è stato abbastanza inutile non scriverla. Sotto, in spoiler, l'idea della mia soluzione, che è piuttosto brutale devo dire.
Cosa è dunque successo?
Stamane, siccome non sapevo come passare le ore di scuola, ho iniziato a studiare il problema che sto per proporvi; finalmente, dopo cinque lunghe ore, di cui solo due passate a lavorare sul problema (una per i tentativi preliminari e l'altra per le idee [spero giuste] che hanno portato alla soluzione), mentre attendevo che il pullman arrivasse ho concluso la mia dimostrazione.
Ma sarà davvero valida? Sta a voi deciderlo!
Ecco dunque il tanto atteso PROBLEMA:
sia $n$ un intero positivo. Dimostrare che esiste un intero $m$ tale che il numero di soluzioni intere $(x, y)$ di
$x^2+xy+y^2=m$ sia maggiore di $n$.
La mia SOLUZIONE verrà pubblicata non appena avrò tempo e voglia di scriverla, nel frattempo vi lascio almeno il piacere di provarci da soli.
EDIT: la mia memoria corta aveva dimenticato le considerazioni che portavano a dire che il problema si riscriveva così. Ad ogni modo, l'idea del post non era quella di risolvere il problema, era sapere se la mia soluzione "di petto" fosse giusta, quindi è stato abbastanza inutile non scriverla. Sotto, in spoiler, l'idea della mia soluzione, che è piuttosto brutale devo dire.