OliForum Matematico

Sia $k$ un intero positivo fissato.
Dimostrare che esistono due quadrati consecutivi tali che il numero di primi tra di essi è maggiore di $k$.

Bonus: Mostrare che esistono infiniti $n$ tali che il numero di primi in $\{n^2,n^2+1,\ldots,(n+1)^2\}$ è maggiore di $\sqrt{n}$.

E, se non ho sbagliato niente, si può generalizzare e dire che:
esistono infiniti $n$ interi positivi tali che il numero di primi in $\left\{n^2, n^2+1, \dots, (n+1)^2\right\}$ è maggiore di $n^x$ dove $x$ è un reale minore di $1$.