Caronte non guidava solo le barche?

[lucada23]

Vidi che anche Carnote, il traghettatore, usava pesare le anime che trasportava, proprio come gli antichi. Ei aveva una bilancia a bracci uguali, con due fori agli e remi e altri due a metà di ognuno de’ due bracci. A ognuno di que i era appeso un piatto; l’anima del dannato ava su uno dei due piatti interni. V’era inoltre un certo numero di pesetti, dal peso intero in grammi, con il quale il dimonio poteva bilanciare qualunque anima di peso tra 1 e 7812 grammi. E, giacché era un diavolo amante dell’e cienza, i suoi pesetti erano il numero minore possibile che avesse que a proprietà. Sapre e voi qual era il peso del maggiore di que i pesi?
Da gara del pubblico 2017... come si può risolvere?

[AlexThirty]

Sei proprio fortunato perché questo l'ho risolto in gara.
Comunque per iniziare ti do un piccolo hint che è più un aiuto a capire il testo.
I bracci sono quattro e l'anima sta su uno dei due vicini al fulcro. Prova a fare i casi piccoli ricordandomi cosa dice la fisica sul fatto che i piatti centrali stanno a metà rispetto a quelli esterni. Dopo circa una ventina di casi dovresti capire come funziona

[lucada23]

Io avevo provato a scrivere
$p=x+2y-2z$
Con $p$ Il peso dell'anima, solo che non ho idea di come determinare quale configurazione è minima. Anche continuando a mano mi risulta difficile trovare un pattern

[matpro98]

Intanto, già qui c'è un primo errore: puoi mettere uno o più pesetti anche sul piatto con l'anima

[lucada23]

E appunto ho messo anche la $z$

[matpro98]

Sono 4 piatti, devi mettere anche $-w$

[lucada23]

Ho scritto l'equazione $2z+p=x+2y$ Poi riscrivendola come $p=x+2y-2z$ e da questa ho ricavato quanto sopra ma non riesco ad andare avanti...

[lucada23]

Ok ho capito: anche dove sta l'anima

[lucada23]

Altri hint?

[fph]

Ti dà una buona idea di cosa sta succedendo se ti fai prima (o ti "porti da casa", come dice il buon Max) la versione senza i buchi a metà dei bracci, quindi ti consiglio di partire da quella.

[lucada23]

Per la bilancia a due bracci ho trovato che in teoria bastano $n$ numeri dove si ha che $p<\binom{n}{2}$ perché così ci sono sicuramente $p$ differenze che hanno valore diverso se scelgo bene i pesi... questo come mi aiuta?

[matpro98]

E se ti dicessi che per la bilancia a 2 bracci la soluzione ottimale per i pesetti sono le potenze di 3?

[lucada23]

In tal caso ti chiederei perché e come l'idea ti è venuta

[fph]

Quanti pesi diversi (positivi e/o negativi) puoi fare con due pesetti?

[Vinci]

Il numero di modi di disporre i due pesetti sui quattro piatti, quindi $16$, ma alcuni di questi casi non permettono di bilanciare, e andrebbe considerato il fatto che deve esserci almeno un peso sul lato della bilancia che non contiene l'anima, ed andrebbe anche considerato se i due pesetti pesano uno la metà dell'altro, e se quello che pesa di più pesa più del doppio dell'altro o no, sono un bel po' di casi.