Engel NT 16

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Vinci
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Engel NT 16

Messaggio da Vinci » 26 apr 2017, 13:13

Dimostrare che se $2n+1$ e $3n+1$ sono quadrati perfetti, allora $5n+3$ non è primo. C'è una cosa nella soluzione che non capisco e vorrei chiedere, ma la nascondo nel caso in cui qualcuno volesse provare a risolvere il problema ;)
Testo nascosto:
La soluzione ufficiale pone $2n+1=a^2$ e $3n+1=b^2$, da cui viene $5n+3=4 \cdot(2n+1)-(3n+1)=4a^2-b^2=(2a+b)(2a-b)$. E fino a qui ci sono. Poi, per dimostrare che $2a-b \ne 1$ dice che $2a-b=1 \Rightarrow (b-1)^2=-2n$. Da dove esce fuori quest'ultima implicazione??

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Lasker
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Re: Engel NT 16

Messaggio da Lasker » 26 apr 2017, 14:38

Testo nascosto:
$$(b-1)^2=2(b^2+1)-(b+1)^2=2(3n+2)-(2a)^2=2(3n+2)-4(2n+1)=6n+4-8n-4=-2n$$
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

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Re: Engel NT 16

Messaggio da Vinci » 26 apr 2017, 14:43

Grazie mille, tutto chiaro adesso :)

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