Pagina 1 di 1

"DIOfantea" non è una bestemmia

Inviato: 09 apr 2017, 16:43
da Vinci
Trovare tutte le soluzioni intere di $$x^2+xy+y^2=x^2y^2$$ Ho una soluzione e vorrei sapere se è giusta.
Testo nascosto:
La soluzione ufficiale dice di usare la discesa infinita. La mia soluzione è: dato che $x$ divide tutti i termini dell'equazione tranne $y^2$, $x\mid y$ e per lo stesso motivo $y\mid x$, e dato che $a\mid b \Rightarrow a\le b$ abbiamo $x\le y$ e $y\le x$, da cui $x=y$. Quindi l'equazione diventa $x^2+x\cdot x+x^2=x^2\cdot x^2$ da cui $3=x^2$ e quindi non ci sono soluzioni negli interi. E' corretta?

Re: "DIOfantea" non è una bestemmia

Inviato: 09 apr 2017, 19:17
da matpro98
Intanto, $(0,0)$ è soluzione. Poi, $x \mid y^2$ e non $y$

Re: "DIOfantea" non è una bestemmia

Inviato: 09 apr 2017, 19:17
da RiccardoKelso
Vinci ha scritto:dato che $x$ divide tutti i termini dell'equazione tranne $y^2$, $x\mid y$
temo tu possa dedurre solo $x\mid y^2$

Re: "DIOfantea" non è una bestemmia

Inviato: 09 apr 2017, 19:39
da jordan
Se $(x,y)=(4,2)$ allora $x\mid y^2$ e $x\nmid y$. Comunque, il membro di destra dell'equazione sembra un po' grande :)

Re: "DIOfantea" non è una bestemmia

Inviato: 09 apr 2017, 20:33
da Vinci
Grazie, ho capito dove sbaglio

Re: "DIOfantea" non è una bestemmia

Inviato: 09 apr 2017, 21:39
da matpro98
Allora, $x=0 \Leftrightarrow y=0$, quindi suppongo $x,y \neq 0$. Inoltre l'equazione è simmetrica.
Non ci sono vincoli di segno, quindi per ora suppongo che siano concordi. $LHS<(x+y)^2<RHS$ se $(x-1)(y-1)>1$ o se $x+y<0$, quindi devo controllare a mano i casi $x=1$ e $y=1$, che non mi danno soluzioni (o meglio, me le danno ma ho supposto $xy>0$).
Suppongo ora che siano discordi; $LHS<x^2+y^2<RHS$ per $(x^2-1)(y^2-1)>1$, quindi per simmetria controllo solo $x^2=1$ che mi da le coppie $(1,-1),\ (-1,1)$.
Soluzioni: $(0,0),\ (1,-1),\ (-1,1) $

È giusta?

Re: "DIOfantea" non è una bestemmia

Inviato: 10 apr 2017, 13:26
da jordan
L'equazione è equivalente a
$$
(2x+y)^2=(4x^2-3)y^2
$$
ma $4x^2-3$ non puo' essere un quadrato se $|x|\ge 2$..

Re: "DIOfantea" non è una bestemmia

Inviato: 10 apr 2017, 21:47
da nuoveolimpiadi1999
Per curiosità, da dove viene l'esercizio?

Re: "DIOfantea" non è una bestemmia

Inviato: 11 apr 2017, 20:15
da Vinci
Dall'Engel

Re: "DIOfantea" non è una bestemmia

Inviato: 14 apr 2017, 15:54
da nuoveolimpiadi1999
Grazie :)

Re: "DIOfantea" non è una bestemmia

Inviato: 14 apr 2017, 16:30
da Claudio.
Sbaglio o $xy\mid x^2+y^2 \Rightarrow x=\pm y$?

OT: Solo sul mio browser l'oliforum è impazzito?

Re: "DIOfantea" non è una bestemmia

Inviato: 15 apr 2017, 11:29
da Turba
jordan ha scritto:
10 apr 2017, 13:26
L'equazione è equivalente a
$$
(2x+y)^2=(4x^2-3)y^2
$$
ma $4x^2-3$ non puo' essere un quadrato se $|x|\ge 2$..

Analogamente:

[math]

e l'unico quadrato che è prodotto di due interi consecutivi è 0, da cui le soluzioni.