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Trovare tutte le soluzioni intere di $$x^2+xy+y^2=x^2y^2$$ Ho una soluzione e vorrei sapere se è giusta.

Intanto, $(0,0)$ è soluzione. Poi, $x \mid y^2$ e non $y$

Vinci ha scritto:dato che $x$ divide tutti i termini dell'equazione tranne $y^2$, $x\mid y$

temo tu possa dedurre solo $x\mid y^2$

Se $(x,y)=(4,2)$ allora $x\mid y^2$ e $x\nmid y$. Comunque, il membro di destra dell'equazione sembra un po' grande

Grazie, ho capito dove sbaglio

Allora, $x=0 \Leftrightarrow y=0$, quindi suppongo $x,y \neq 0$. Inoltre l'equazione è simmetrica.
Non ci sono vincoli di segno, quindi per ora suppongo che siano concordi. $LHS<(x+y)^2<RHS$ se $(x-1)(y-1)>1$ o se $x+y<0$, quindi devo controllare a mano i casi $x=1$ e $y=1$, che non mi danno soluzioni (o meglio, me le danno ma ho supposto $xy>0$).
Suppongo ora che siano discordi; $LHS<x^2+y^2<RHS$ per $(x^2-1)(y^2-1)>1$, quindi per simmetria controllo solo $x^2=1$ che mi da le coppie $(1,-1),\ (-1,1)$.
Soluzioni: $(0,0),\ (1,-1),\ (-1,1) $

È giusta?

L'equazione è equivalente a
$$
(2x+y)^2=(4x^2-3)y^2
$$
ma $4x^2-3$ non puo' essere un quadrato se $|x|\ge 2$..

Per curiosità, da dove viene l'esercizio?

Dall'Engel

Grazie

Sbaglio o $xy\mid x^2+y^2 \Rightarrow x=\pm y$?

OT: Solo sul mio browser l'oliforum è impazzito?

jordan ha scritto: ↑10 apr 2017, 13:26 L'equazione è equivalente a
$$
(2x+y)^2=(4x^2-3)y^2
$$
ma $4x^2-3$ non puo' essere un quadrato se $|x|\ge 2$..

Analogamente:

[math]
(x+y)^2-xy=x^2y^2\\
(x+y)^2=xy(xy+1)


e l'unico quadrato che è prodotto di due interi consecutivi è 0, da cui le soluzioni.