Equazione negli interi
Inviato: 18 mar 2017, 17:34
Dimostrare che la seguente equazione non ha soluzioni negli interi:
m^2=(n^5)-4
m^2=(n^5)-4
Testo nascosto:
$a:=n-m$
L'equazione data è equivalente a:
$n^2+2an+a^2=n^5-4$
$n^5-n^2-2an+(4-a^2)=0$
Per il teorema di Ruffini, se ci sono soluzioni intere in $n$ con $a$ intero, allora $n$ divide $4-a^2$. Quindi:
$n|2+a\vee n|2-a$
Ricacciandoci dentro la definizione di $a$ abbiamo:
$n|2+n-m\vee n|2-n+m$
$n|2-m\vee n|2+m$ (1)
Teniamola lì e ripeschiamo l'equazione data:
$n^5=m^2+4$
Da cui segue:
$n|m^2+4$ (2)
Supponiamo vere contemporaneamente la (2) e la prima condizione della (1):
$n|m^2+4\wedge n|2-m$
$\Rightarrow n|m^2+4\wedge n|2m-4$
$\Rightarrow n|m^2+4+2m-4=m(m+2)$
$\Rightarrow n|m\vee n|m+2$
Visto che vale ancora la prima della (1), si ha:
$n|m+2-m=2\vee n|m+2+2-m=4$
Quindi i possibili valori di n sono $\pm 1;\pm 2;\pm 4$. Essendo il primo membro dell'equazione data non negativo, anche il secondo lo deve essere, quindi ha senso provare solo $n=2$ e $n=4$.
$n=2\Rightarrow m^2=32-4=28\Rightarrow m\notin \mathbb{Z}$
$n=4\Rightarrow m^2=1024-4=1020\Rightarrow m\notin \mathbb{Z}$
Quindi per dimostrare la tesi ci basta dimostrare che, partendo dal supporre contemporaneamente vere la seconda della (1) e la (2) non troviamo soluzioni intere dell'equazione data...
$n|m^2+4\wedge n|2+m$
$\Rightarrow n|m^2+4\wedge n|-2m-4$
$\Rightarrow n|m^2+4-2m-4=m(m-2)$
$\Rightarrow n|m\vee n|m-2$
E qui mi riconduco al caso analizzato prima, quindi proprio di soluzioni intere non ce n'è, mi spiace.
L'equazione data è equivalente a:
$n^2+2an+a^2=n^5-4$
$n^5-n^2-2an+(4-a^2)=0$
Per il teorema di Ruffini, se ci sono soluzioni intere in $n$ con $a$ intero, allora $n$ divide $4-a^2$. Quindi:
$n|2+a\vee n|2-a$
Ricacciandoci dentro la definizione di $a$ abbiamo:
$n|2+n-m\vee n|2-n+m$
$n|2-m\vee n|2+m$ (1)
Teniamola lì e ripeschiamo l'equazione data:
$n^5=m^2+4$
Da cui segue:
$n|m^2+4$ (2)
Supponiamo vere contemporaneamente la (2) e la prima condizione della (1):
$n|m^2+4\wedge n|2-m$
$\Rightarrow n|m^2+4\wedge n|2m-4$
$\Rightarrow n|m^2+4+2m-4=m(m+2)$
$\Rightarrow n|m\vee n|m+2$
Visto che vale ancora la prima della (1), si ha:
$n|m+2-m=2\vee n|m+2+2-m=4$
Quindi i possibili valori di n sono $\pm 1;\pm 2;\pm 4$. Essendo il primo membro dell'equazione data non negativo, anche il secondo lo deve essere, quindi ha senso provare solo $n=2$ e $n=4$.
$n=2\Rightarrow m^2=32-4=28\Rightarrow m\notin \mathbb{Z}$
$n=4\Rightarrow m^2=1024-4=1020\Rightarrow m\notin \mathbb{Z}$
Quindi per dimostrare la tesi ci basta dimostrare che, partendo dal supporre contemporaneamente vere la seconda della (1) e la (2) non troviamo soluzioni intere dell'equazione data...
$n|m^2+4\wedge n|2+m$
$\Rightarrow n|m^2+4\wedge n|-2m-4$
$\Rightarrow n|m^2+4-2m-4=m(m-2)$
$\Rightarrow n|m\vee n|m-2$
E qui mi riconduco al caso analizzato prima, quindi proprio di soluzioni intere non ce n'è, mi spiace.
