Pagina 1 di 1

Equazione negli interi

Inviato: 18 mar 2017, 17:34
da nuoveolimpiadi1999
Dimostrare che la seguente equazione non ha soluzioni negli interi:

m^2=(n^5)-4

Re: Equazione negli interi

Inviato: 19 mar 2017, 18:57
da Sirio
Testo nascosto:
$a:=n-m$
L'equazione data è equivalente a:
$n^2+2an+a^2=n^5-4$
$n^5-n^2-2an+(4-a^2)=0$
Per il teorema di Ruffini, se ci sono soluzioni intere in $n$ con $a$ intero, allora $n$ divide $4-a^2$. Quindi:
$n|2+a\vee n|2-a$
Ricacciandoci dentro la definizione di $a$ abbiamo:
$n|2+n-m\vee n|2-n+m$
$n|2-m\vee n|2+m$ (1)
Teniamola lì e ripeschiamo l'equazione data:
$n^5=m^2+4$
Da cui segue:
$n|m^2+4$ (2)
Supponiamo vere contemporaneamente la (2) e la prima condizione della (1):
$n|m^2+4\wedge n|2-m$
$\Rightarrow n|m^2+4\wedge n|2m-4$
$\Rightarrow n|m^2+4+2m-4=m(m+2)$
$\Rightarrow n|m\vee n|m+2$
Visto che vale ancora la prima della (1), si ha:
$n|m+2-m=2\vee n|m+2+2-m=4$
Quindi i possibili valori di n sono $\pm 1;\pm 2;\pm 4$. Essendo il primo membro dell'equazione data non negativo, anche il secondo lo deve essere, quindi ha senso provare solo $n=2$ e $n=4$.
$n=2\Rightarrow m^2=32-4=28\Rightarrow m\notin \mathbb{Z}$
$n=4\Rightarrow m^2=1024-4=1020\Rightarrow m\notin \mathbb{Z}$
Quindi per dimostrare la tesi ci basta dimostrare che, partendo dal supporre contemporaneamente vere la seconda della (1) e la (2) non troviamo soluzioni intere dell'equazione data...
$n|m^2+4\wedge n|2+m$
$\Rightarrow n|m^2+4\wedge n|-2m-4$
$\Rightarrow n|m^2+4-2m-4=m(m-2)$
$\Rightarrow n|m\vee n|m-2$
E qui mi riconduco al caso analizzato prima, quindi proprio di soluzioni intere non ce n'è, mi spiace.

Re: Equazione negli interi

Inviato: 19 mar 2017, 19:27
da AlexThirty
Oppure per farlo in modo super swag
Testo nascosto:
modulo 11

Re: Equazione negli interi

Inviato: 19 mar 2017, 21:07
da nuoveolimpiadi1999
Ottimo Sirio! :)
Cosa intendi con mod 11 AlexThirty?
(Cioè so cosa significa, ma non capisco come vuoi usarlo...)

Re: Equazione negli interi

Inviato: 19 mar 2017, 21:17
da mr96
nuoveolimpiadi1999 ha scritto:Ottimo Sirio! :)
Cosa intendi con mod 11 AlexThirty?
(Cioè so cosa significa, ma non capisco come vuoi usarlo...)

Quali sono i residui quadratici modulo 11? E i residui quinti? C'è una combinazione di questi che risolve l'equazione (modulo 11)?

Re: Equazione negli interi

Inviato: 19 mar 2017, 21:30
da nuoveolimpiadi1999
Grazie mr96 però non ti seguo... :(
(So cosa sono i residui quadratici però non ho capito bene come fare in questo modo a risolvere il problema .)

Re: Equazione negli interi

Inviato: 19 mar 2017, 22:38
da mr96
Le potenze quinte modulo 11 fanno 0,1,10, quindi il termine a destra è 6,7,8 modulo 11, ma nessuno di quei 3 è residuo quadratico, quindi non ci sono soluzioni

Re: Equazione negli interi

Inviato: 21 mar 2017, 20:42
da Gerald Lambeau
Piccolo trucco: $11$ non è scelto a caso. Se si ha una diofantea con tutti gli esponenti noti, si prenda il loro multiplo comune più piccolo (non necessariamente il minimo comune multiplo!) tale che esso incrementato di $1$ sia primo. Quel primo è quello il cui modulo dobbiamo guardare.
Nel nostro caso siamo fortunati, infatti basta il minimo comune multiplo: $2 \cdot 5+1=11$ (in generale preferiamo guardare solo quello, altrimenti si rischia di beccare un primo troppo grande affinché il trucco funzioni bene).

Spieghiamo ora perché il trucco funziona così bene con primi relativamente piccoli (=vicini al minimo comune multiplo degli esponenti):
modulo un primo $p$ esistono $\displaystyle \frac{p-1}{MCD(k, p-1)}+1$ residui $k$-adici modulo $p$; se noi sappiamo che $k \mid p-1$, siamo certi che quel numero sarà minore di $p$. Ancora meglio se $p-1$ è il minimo comune multiplo degli esponenti, perché sì minimizza il numero di casi possibili.
Avendo pochi casi, se siamo fortunati la diofantea non potrà essere rispettata da nessuna combinazione di moduli.

Re: Equazione negli interi

Inviato: 22 mar 2017, 20:27
da karlosson_sul_tetto
Sirio ha scritto:$a:=n-m$
L'equazione data è equivalente a:
$n^2+2an+a^2=n^5-4$
$n^5-n^2-2an+(4-a^2)=0$

Non mi torna molto questo passaggio... con questa definzione $m=n-a$ e quindi $m^2=n^2-2an+a^2$; inoltre dopo il termine noto dovrebbe essere $-4-a^2$ (e quindi non fattorizzabile)

Re: Equazione negli interi

Inviato: 22 mar 2017, 21:52
da Sirio
Ho fatto un po' di casino coi segni, è vero... :oops: