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Bello e non troppo difficile

Inviato: 17 mar 2017, 11:38
da AlexThirty
Trovare tutti gli interi positivi $ n $ per cui
$ 2^n+n|8^n+n $

Re: Bello e non troppo difficile

Inviato: 29 mar 2017, 17:26
da nuoveolimpiadi1999
io darei un Hint:
se 2^n+n|8^n+n allora 2^n+n|n-n^3

Re: Bello e non troppo difficile

Inviato: 19 lug 2017, 20:23
da Vinci
Non capisco da dove viene fuori l'hint

Re: Bello e non troppo difficile

Inviato: 19 lug 2017, 22:18
da FedeX333X
Vinci ha scritto:
19 lug 2017, 20:23
Non capisco da dove viene fuori l'hint
Viene fuori da qua
Testo nascosto:
Se $2^n+n|8^n+n$, si avrà anche che $$(2^n+n)|(2^n+n)^3-(8^n+n)$$

Svolgendo il cubo hai $$(2^n+n)|n^3-n+3n \cdot 2^n \cdot(2^n+n)$$ da cui arrivi a $$(2^n+n)|n^3-n$$

E per proseguire boh, direi che quel denominatore cresce un poco più velocemente...

Re: Bello e non troppo difficile

Inviato: 21 lug 2017, 17:01
da Drago96
Un trucco per velocizzare il conto che porta all'hint:
Testo nascosto:
Se noi guardiamo $\mod 2^n+n$, sappiamo che $2^n+n\equiv 0$, ovvero $2^n\equiv -n$. Ma allora $0\equiv 8^n+n\equiv (2^n)^3+n\equiv(-n)^3+n$

Re: Bello e non troppo difficile

Inviato: 13 set 2017, 12:39
da Fenu
Per concludere, dimostriamo per induzione che $2^n > n^3$ per tutti gli $n$ maggiori o uguali a $10$.
Ho fatto un induzione un po' strana, ma spero sia giusta.
Passo base: controlliamo dei casi e notiamo che per $n$ maggiori di $9$ funziona. Supponiamo funzioni per tutti gli $n > 9$.
Avremo quindi
$$2^{n+1}>2n^3=n^3 + n^3$$
E allo stesso tempo vogliamo dimostrare che
$$2^{n+1}>(n+1)^3=n^3 + 3n^2 + 3n + 1$$
Ci basta quindi dimostrare che $n^3>3n^2 + 3n + 1$ per tutti gli $n$ maggiori di un certo $j$. Notiamo banalmente che
$$(a)3n^2 + 3n + 1 <6n^2 + 1 < 7n^2 < n^3$$ per $n>7$.
La nostra induzione iniziale dava $n>9$ per cui la $(a)$ e' sempre vera.
Otteniamo quindi
$$2^{n+1}=2\cdot2^{n}>2n^3=n^3+n^3>n^3 + 3n^2 + 3n + 1=(n+1)^3$$
$$2^{n+1}>(n+1)^3$$
Proprio' cio' che volevamo dimostrare.
Ora abbiamo
$$2^n+n>2^n>n^3>n^3-n$$
$$2^n + n > n^3 - n$$
Per $n>9$. Controllando i casi piccoli, funziona solo $n=1, 2, 4, 6$.