Bello e non troppo difficile

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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AlexThirty
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Bello e non troppo difficile

Messaggio da AlexThirty » 17 mar 2017, 11:38

Trovare tutti gli interi positivi $ n $ per cui
$ 2^n+n|8^n+n $
Un bresciano esportato nel cremonese

-"Dal palazzo di giustizia di Catania o esci con più soldi di prima, o non esci proprio"
-"Baroni uscirebbe con un Win - Win".
Tutti si mettono a ridere, e allora intuisco che non aveva detto "Weed - Win" come avevo capito.

nuoveolimpiadi1999
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Re: Bello e non troppo difficile

Messaggio da nuoveolimpiadi1999 » 29 mar 2017, 17:26

io darei un Hint:
se 2^n+n|8^n+n allora 2^n+n|n-n^3

Vinci
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Re: Bello e non troppo difficile

Messaggio da Vinci » 19 lug 2017, 20:23

Non capisco da dove viene fuori l'hint

FedeX333X
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Re: Bello e non troppo difficile

Messaggio da FedeX333X » 19 lug 2017, 22:18

Vinci ha scritto:
19 lug 2017, 20:23
Non capisco da dove viene fuori l'hint
Viene fuori da qua
Testo nascosto:
Se $2^n+n|8^n+n$, si avrà anche che $$(2^n+n)|(2^n+n)^3-(8^n+n)$$

Svolgendo il cubo hai $$(2^n+n)|n^3-n+3n \cdot 2^n \cdot(2^n+n)$$ da cui arrivi a $$(2^n+n)|n^3-n$$

E per proseguire boh, direi che quel denominatore cresce un poco più velocemente...

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Drago96
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Re: Bello e non troppo difficile

Messaggio da Drago96 » 21 lug 2017, 17:01

Un trucco per velocizzare il conto che porta all'hint:
Testo nascosto:
Se noi guardiamo $\mod 2^n+n$, sappiamo che $2^n+n\equiv 0$, ovvero $2^n\equiv -n$. Ma allora $0\equiv 8^n+n\equiv (2^n)^3+n\equiv(-n)^3+n$
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)

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