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Trovare tutti gli interi positivi $ n $ per cui
$ 2^n+n|8^n+n $

io darei un Hint:
se 2^n+n|8^n+n allora 2^n+n|n-n^3

Non capisco da dove viene fuori l'hint

Vinci ha scritto: ↑19 lug 2017, 20:23 Non capisco da dove viene fuori l'hint

Viene fuori da qua

Un trucco per velocizzare il conto che porta all'hint:

Per concludere, dimostriamo per induzione che $2^n > n^3$ per tutti gli $n$ maggiori o uguali a $10$.
Ho fatto un induzione un po' strana, ma spero sia giusta.
Passo base: controlliamo dei casi e notiamo che per $n$ maggiori di $9$ funziona. Supponiamo funzioni per tutti gli $n > 9$.
Avremo quindi
$$2^{n+1}>2n^3=n^3 + n^3$$
E allo stesso tempo vogliamo dimostrare che
$$2^{n+1}>(n+1)^3=n^3 + 3n^2 + 3n + 1$$
Ci basta quindi dimostrare che $n^3>3n^2 + 3n + 1$ per tutti gli $n$ maggiori di un certo $j$. Notiamo banalmente che
$$(a)3n^2 + 3n + 1 <6n^2 + 1 < 7n^2 < n^3$$ per $n>7$.
La nostra induzione iniziale dava $n>9$ per cui la $(a)$ e' sempre vera.
Otteniamo quindi
$$2^{n+1}=2\cdot2^{n}>2n^3=n^3+n^3>n^3 + 3n^2 + 3n + 1=(n+1)^3$$
$$2^{n+1}>(n+1)^3$$
Proprio' cio' che volevamo dimostrare.
Ora abbiamo
$$2^n+n>2^n>n^3>n^3-n$$
$$2^n + n > n^3 - n$$
Per $n>9$. Controllando i casi piccoli, funziona solo $n=1, 2, 4, 6$.