Bello e non troppo difficile

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
AlexThirty
Messaggi: 214
Iscritto il: 20 giu 2015, 20:58

Bello e non troppo difficile

Messaggio da AlexThirty » 17 mar 2017, 11:38

Trovare tutti gli interi positivi $ n $ per cui
$ 2^n+n|8^n+n $
Un bresciano esportato nel cremonese

-"Dal palazzo di giustizia di Catania o esci con più soldi di prima, o non esci proprio"
-"Baroni uscirebbe con un Win - Win".
Tutti si mettono a ridere, e allora intuisco che non aveva detto "Weed - Win" come avevo capito.

nuoveolimpiadi1999
Messaggi: 122
Iscritto il: 31 mar 2015, 13:30

Re: Bello e non troppo difficile

Messaggio da nuoveolimpiadi1999 » 29 mar 2017, 17:26

io darei un Hint:
se 2^n+n|8^n+n allora 2^n+n|n-n^3

Vinci
Messaggi: 149
Iscritto il: 30 gen 2015, 18:38

Re: Bello e non troppo difficile

Messaggio da Vinci » 19 lug 2017, 20:23

Non capisco da dove viene fuori l'hint

FedeX333X
Messaggi: 47
Iscritto il: 04 giu 2017, 16:34

Re: Bello e non troppo difficile

Messaggio da FedeX333X » 19 lug 2017, 22:18

Vinci ha scritto:
19 lug 2017, 20:23
Non capisco da dove viene fuori l'hint
Viene fuori da qua
Testo nascosto:
Se $2^n+n|8^n+n$, si avrà anche che $$(2^n+n)|(2^n+n)^3-(8^n+n)$$

Svolgendo il cubo hai $$(2^n+n)|n^3-n+3n \cdot 2^n \cdot(2^n+n)$$ da cui arrivi a $$(2^n+n)|n^3-n$$

E per proseguire boh, direi che quel denominatore cresce un poco più velocemente...

Avatar utente
Drago96
Messaggi: 1114
Iscritto il: 14 mar 2011, 16:57
Località: Provincia di Torino
Contatta:

Re: Bello e non troppo difficile

Messaggio da Drago96 » 21 lug 2017, 17:01

Un trucco per velocizzare il conto che porta all'hint:
Testo nascosto:
Se noi guardiamo $\mod 2^n+n$, sappiamo che $2^n+n\equiv 0$, ovvero $2^n\equiv -n$. Ma allora $0\equiv 8^n+n\equiv (2^n)^3+n\equiv(-n)^3+n$
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)

Fenu
Messaggi: 2
Iscritto il: 10 set 2017, 16:34

Re: Bello e non troppo difficile

Messaggio da Fenu » 13 set 2017, 12:39

Per concludere, dimostriamo per induzione che $2^n > n^3$ per tutti gli $n$ maggiori o uguali a $10$.
Ho fatto un induzione un po' strana, ma spero sia giusta.
Passo base: controlliamo dei casi e notiamo che per $n$ maggiori di $9$ funziona. Supponiamo funzioni per tutti gli $n > 9$.
Avremo quindi
$$2^{n+1}>2n^3=n^3 + n^3$$
E allo stesso tempo vogliamo dimostrare che
$$2^{n+1}>(n+1)^3=n^3 + 3n^2 + 3n + 1$$
Ci basta quindi dimostrare che $n^3>3n^2 + 3n + 1$ per tutti gli $n$ maggiori di un certo $j$. Notiamo banalmente che
$$(a)3n^2 + 3n + 1 <6n^2 + 1 < 7n^2 < n^3$$ per $n>7$.
La nostra induzione iniziale dava $n>9$ per cui la $(a)$ e' sempre vera.
Otteniamo quindi
$$2^{n+1}=2\cdot2^{n}>2n^3=n^3+n^3>n^3 + 3n^2 + 3n + 1=(n+1)^3$$
$$2^{n+1}>(n+1)^3$$
Proprio' cio' che volevamo dimostrare.
Ora abbiamo
$$2^n+n>2^n>n^3>n^3-n$$
$$2^n + n > n^3 - n$$
Per $n>9$. Controllando i casi piccoli, funziona solo $n=1, 2, 4, 6$.

Rispondi

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 4 ospiti