quando è primo?

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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nuoveolimpiadi1999
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Iscritto il: 31 mar 2015, 13:30

quando è primo?

Messaggio da nuoveolimpiadi1999 » 03 mar 2017, 17:32

Quante sono le coppie ordinate di interi (a,b) per cui
a^4+(4)b^4+12ab−9
`e un numero primo?

setteh
Messaggi: 7
Iscritto il: 06 mar 2017, 17:06

Re: quando è primo?

Messaggio da setteh » 07 mar 2017, 21:22

\[a^4+4b^4+12ab-9=a^4+4a^2b^2+4b^4-4a^2b^2+12ab-9=(a^2+2b^2)^2-(2ab-3)^2=(a^2+2b^2-2ab+3)(a^2+2b^2+2ab-3)\]
Perché poi sia un primo uno dei due fattori deve essere uno. Pongo il primo uguale ad uno e risolvo per a: ottengo un delta negativo nella risolvente di secondo grado, quindi nessuna soluzione accettabile in questo caso. Pongo il secondo fattore uguale ad uno e a e b interi, risolvendo per a ottengo a=+/-2 con b=0 per cui risulta sette (e setteh è primo) e a=-2 e b=2 per cui risulta 23 (anche lui primo).
Quindi direi tre coppie (?)

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