OliForum Matematico

$g:=$aura di Gonioku
$g=10001n+1$
$h:=\sqrt{g}-1$
$g=\left(h+1\right)^2=h^2+2h+1$
$h^2+2h+1=10001n+1$
$h\left(h+2\right)=10001n$
Ammetto di aver cercato su WolframAlpha la fattorizzazzione di $10001$, che è $73\cdot 137$.
$h\left(h+2\right)=73\cdot 137\cdot n$
$n=9999$ non va bene perché $g$ verrebbe di $9$ cifre...
A 'sto punto, visto che questo era l'unico modo per mettere $73\cdot 137$ uguale ad uno dei primi due membri, definisco così $x$ e $y$:
$xy=n\wedge\left( 73x=137y+2\vee 73x+2=137y\right)$
Se trovo $x$ e $y$ ho risolto il problema. Quindi sperando di beccare la seconda mi faccio una bella tabellona coi multipli di $137$ (o $-9$, tanto è uguale) modulo $73$, sperando che venga $2$ prima o poi...
$a$.......$-9a$ modulo $73$
$1$.......$-9$
$2$.......$-18$
$3$.......$-27$
$4$ .......$-36$
$5$.......$-45$
$6$.......$-54$
$7$.......$-63$
$8$.......$-72\equiv 1$
A questo punto arrivato capisco che $a$ deve valere $16$. Lodo il cielo per averci azzeccato e a questo punto ho $y=16$. Quindi il secondo membro vale $137\cdot 16$, che una bella operazione in colonna mi rivela essere uguale a $2192$. Quindi ho $73x=2190$ e qui una bella divisione in colonna mi dà $x=30$. Quindi ho $n=30\cdot 16=48$, che riesco a fare a mente anziché in colonna. A questo punto arrivato, grido "FERMI TUTTI! $n$ DEVE AVERE QUATTRO CIFRE!" e riparto dalla tabellona.
Mi rendo così conto che non ho $y=16$ ma $y\equiv 16$ modulo $73$. Visto che $xy$ deve avere $4$ cifre e che palesemente si ha $x>y$, decido di prendere il più grande $y$ di due cifre, sperando che $x$ ne abbia tre. Vien quindi fuori $y=89$ e, stando ai calcoli che qui da casa faccio io ma che ragionevolmente in gara farei fare a qualcun altro, $x=167$ (yeeee), da cui $n=14863$ (noooo).
Beh, a questo punto che fare, se non la tabellona coi multipli di $73$ modulo $137$? Ohibò, e io che pensavo d'averci azzeccato!
$a$.......$73a$ modulo $137$
$1$.......$73$
$2$.......$9$
$3$.......$82$
$4$.......$18$
$5$.......$91$
$6$.......$27$
$7$.......$100$
$8$.......$36$
$9$.......$109$
$10$......$45$
$11$......$118$
$12$......$54$
$13$......$127\equiv -10$
$14$......$63$
$15$......$-1$
A questo punto capisco che dovrei fare:
$73x\equiv 2\cdot 1 \equiv 2\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\equiv 2\cdot 15\cdot 73\cdot\left(-1\right)\equiv -30\cdot 73$ modulo $137$
E, dato che il modulo è primo, ho $x\equiv -30\equiv 107$ modulo $137$.
Con lo stesso ragionamento di prima prendo il più piccolo $x$ di tre cifre, ovvero $107$. Coi soliti conti arrivo a $y=57$ e, finalmente, a $n=6099$.