Vecchio Cesenatico...

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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nuoveolimpiadi1999
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Vecchio Cesenatico...

Messaggio da nuoveolimpiadi1999 »

Trovare tutti i naturali n per cui (3^n)-1 è un cubo perfetto.
Talete
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Re: Vecchio Cesenatico...

Messaggio da Talete »

Trivial per Mihailescu, le uniche soluzioni sono $n=0$ e $n=2$ :)
Testo nascosto:
Dai, lo faccio in modo serio:
\[3^n=x^3+1=(x+1)(x^2-x+1).\]
Quindi $x+1=3^a$ per qualche $a\ge0$ e $x^2-x+1=3^b$ per qualche $b\ge0$. Dunque
\[3^{2a}-3^{a+1}+3=3^b.\hspace{1cm}(\star)\]
Guardando quest'equazione modulo $9$ si ottiene che almeno uno tra $a+1$ e $b$ dev'essere uguale a $1$.
• $a+1=1$ --> $a=0$ --> $b=0$ --> $n=0$.
• $b=1$ --> $2a=a+1$ --> $a=1$ --> $n=2$.
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
nuoveolimpiadi1999
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Re: Vecchio Cesenatico...

Messaggio da nuoveolimpiadi1999 »

Si, complimenti per la chiarezza e l'eleganza Talete! :)
Talete
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Re: Vecchio Cesenatico...

Messaggio da Talete »

Grazie mille! ;)
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