Somma di inversi (inversi)

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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karlosson_sul_tetto
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Somma di inversi (inversi)

Messaggio da karlosson_sul_tetto »

Camminando allegramente in un quel bel giorno
Della vigilia della viglia della vigilia della vigilia
Di capodanno, vedesti $n$ uomini intorno
Intenti a spartirsi la torta di zia Emilia

Però tra loro c'era disputa ben grande
Su come l'unità dovesse esser divisa
Per saper meglio, facesti domande:
"Perché ha quella faccia indecisa?

Non può, buon uomo, per $n$
Persone tagliarla in parti uguali
E porre fine a questa lite perenne?"
Lui "Ci son condizion particolari

Ognuno può prender un solo pezzo,
Tale che della torta sia una frazione intera
(Come per esempio $\frac{1}{6}$ o $\frac{1}{2}$).
Se ne prende due vedrà della zia l'ira.

Detto $\frac{1}{d_i}$ la piccol fetta
Che l'$i$-esimo signor porta alla bocca,
$d_i$ è intero, cosa già detta,
E c'è un altra regola non sciocca

Dobbiamo lasciare una sola parte
Eguale ad uno sul prodotto degli $d_i$.
Se della spartizione mostrerai l'arte
Sarà tua per ricordo di questo dì."

"A)h, mi basta trovar un modo solo"
Pensasti immedesimandoti nel ruolo
"Di dividerla in $n+1$ parti
Per qualsiasi $n$, roba da matti!"

B)en presto ti venne anche in mente
"Prima di proporre lo spartimento,
Mi conviene cercar tutte le possibilità
In modo da ottener la maggiore quantità"
"Inequality happens"
---
"Chissa se la fanno anche da asporto"
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Sirio
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Re: Somma di inversi (inversi)

Messaggio da Sirio »

Di seguito si trova un tentativo,
Oscurato per quelli similmente
A me desiderosi fortemente
Di tentar di dimostrar, d'errori privo${}^1$.
Testo nascosto:
Il punto A) così a risolver provo:
Il passo base dell'induzione nostra
Vuol $n=2$, e questo non v'è nuovo.
Vediamo ora come si dimostra:

La tesi è la seguente: vi sono
Numeri $a$ e $b$ interi positivi
Tali che un su $a$, numero buono,
Più un su $b$, o voi lettori vivi,

Più un su $ab$, dia senz'altro uno.
Mi scuso s'ora il registro abbassa
L'autore, m'ei${}^2$ pensa che nessuno,
Andando in rima, dimostrar possa.

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{ab}=\dfrac{b+a+1}{ab}=1$
$b+a+1=ab$
$b+a-ab+1=0$
$a\left( 1-b\right)+b-1=-2$
$\left( 1-b\right)\left( a-1\right)=-2$
$a=2\wedge b=3$ oppure $a=3\wedge b=2$
Quindi, per $n=2$ la tesi è dimostrata.

Passo induttivo:
L'ipotesi induttiva è la seguente:
$\displaystyle\sum_{i=1}^n{\dfrac{1}{d_i}}+\dfrac{1}{\displaystyle\prod_{i=1}^n{d_i}}=1$
Per dimostrare la tesi è sufficiente dimostrare ch'esiste un intero positivo $\alpha$ tale che:
$\dfrac{1}{\displaystyle\prod_{i=1}^n{d_i}}=\dfrac{1}{\alpha\displaystyle\prod_{i=1}^n{d_i}}+\dfrac{1}{\alpha}$
$1=\dfrac{1+\displaystyle\prod_{i=1}^n{d_i}}{\alpha}$
$\alpha=1+\displaystyle\prod_{i=1}^n{d_i}$, accettabile, quindi la tesi è dimostrata.

Punto B:

Se la tesi m'è chiara, bisogna in soldoni determinare qual è il minimo che $d_1$, supposto wlog minore o uguale d'ogni altro $d_i$, che si possa raggiungere, in funzione di $n$. Per come abbiamo dimostrato il punto A) s'evince ch'è sempre possibile che $d_1$ sia uguale a $2$, mentre $1$ non può essere perché altrimenti l'uomo $1$ prenderebbe tutta la torta e gl'altri nulla. Quindi, è $2$.

Nota:
Non ho considerato il caso $n=1$ perché mi sembrava un po' strano, ma comunque funziona solo con $d_1=2$.

Fors'un giorno proverò a trasporre tutto questo in versi.
1. Senza errori è la dimostrazione oggetto del desiderio e non, chiaramente, il tentativo dell'autore.
2. ma egli
$T=\sqrt{\dfrac l g 12\pi}$
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karlosson_sul_tetto
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Re: Somma di inversi (inversi)

Messaggio da karlosson_sul_tetto »

"Ma che ingegnosa soluzione!"
Disse il tuo amico assai contento
"Ora noi possiam fare la divisione,
e a te erigeremo un monumento"

La parte A) è ormai conclusa
Ma per la B) c'è un fraintendimento
E debbo abbandonar i versi per la prosa
Per evitar d'esso l'ingigantimento.


La seconda tesi è:
"Trovare TUTTE le soluzioni all'equazione $\displaystyle\sum_{i=1}^n{\dfrac{1}{d_i}}+\dfrac{1}{\displaystyle\prod_{i=1}^n{d_i}}=1$"

In modo che l'astuto Sirio possa poi scegliere quella che massimizza $\dfrac{1}{\displaystyle\prod_{i=1}^n{d_i}}$, la fetta a lui spettante.
"Inequality happens"
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