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Fattorizzazioni ovvie + modulo $q-1$

[math]p^3-q^3=pq^3-1 \Longrightarrow q^3 = p^2-p+1.
Scomponendo si deduce che [math]p \mid q-1 o [math]p \mid q^2+q+1 poiché [math](q-1)(q^2+q+1) = p(p-1)
Caso [math]p \mid q-1:
Se [math]p \mid q-1 allora [math]q^2+q+1 \mid p-1, tuttavia è assurdo perchè si avrebbe [math]q^2+q+2 \leq p \leq q-1.
Caso [math]p \mid q^2+q+1:
[math]q-1 \mid p-1 \Longrightarrow (q-1)k+1 = p in particolare [math]pk =(q-1)k^2+k = q^2+q+1.
Risolvendo l'equazione in [math]q si ha [math]\Delta = k^4-6k^2+4k-3, però [math](k^2-3)^2<\Delta <(k^2-2)^2 per ogni [math]k \geq 4 allora [math]k deve necessariamente essere minore di [math]4. Sostituendo [math]k in [math]\Delta si nota che l'unico valore accettabile è [math]k = 3, quindi [math]q = 1 oppure [math]q=7. Verificando i risultati si conclude che l'unica coppia accettabile è [math]\boxed{(p,q) = (19,7)}.