$19|ax+by+cz$

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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$19|ax+by+cz$

Messaggio da jordan » 27 nov 2016, 16:24

Sia dato $X\subseteq \{1,2,\ldots,19\}$ tale che $|X|=10$. Mostrare che esistono $a,b,c,x,y,z \in X$ tali che $19$ divide $ax+by+cz$.

[Ps. Non conosco una dimostrazione elementare di questo problema..]
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karlosson_sul_tetto
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Re: $19|ax+by+cz$

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 27 nov 2016, 18:54

I numeri possono essere uguali?

Se si:
Testo nascosto:
Passaggio figo ma non necessario:
Se $19 \in X$, allora scegliendo $a=b=c=19$ ho vinto, quindi presuppongo che ci siano solo i numeri da 1 a 18.

Ora prendo $a=b=c$ e $y=z$, mi è sufficiente che $a(x+2y)\equiv 0 \pmod{19}$, ovvero $x\equiv -2y \pmod{19}$
Considero tutti i numeri $t$ mod 19 tali che $t \equiv -2y \pmod{19}$ con $y\in X$. Se per assurdo $-2y_1\equiv t_1 \equiv t_2 \equiv -2y_2 \pmod{19}$, allora si avrebbe $y_1 \equiv y_2 \pmod{19}$. Quindi i 10 numeri $t$ sono tutti diversi tra loro; i numeri $x\in X$ che posso scegliere sono anch'essi $10$ e per il principio dei cassetti, due insiemi di 10 elementi scelti tra i 19 (o anche 18), ce ne devono essere due uguali. Quindi esiste $x_0\equiv t_0\equiv -2y_0\rightarrow x_0+y_0+y_0 \equiv 0 \pmod{19}$
Se no:
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jordan
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Re: $19|ax+by+cz$

Messaggio da jordan » 28 nov 2016, 01:47

Oh, molto bene! Si, intendevo "non necessariamente distinti"..

Ps. Se $19$ fosse stato un primo piu' grande, diciamo $p$, e $10\mapsto \lceil p^{3/4}\rceil$, allora il risultato sarebbe ancora vero (un cannoncino qui)
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