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Siano dati tre sottoinsiemi $X,Y,Z$ di $\{1,\ldots,19\}$ tali che $|X|=|Y|=|Z|=7$.

Mostrare che esistono $x \in X, y \in Y, z \in Z$ tali che $19$ divide $x+y+z$.

Uhm, ma cosa succede se tutti i 21 numeri sono uguali a 1, per esempio? Non è un controesempio?

Ma "non necessariamente distinti" era riferito ai tre insiemi oppure agli interi in ogni insieme?

Non cambia nulla; se volete un controesempio con tutti i numeri diversi, prendete 21 numeri diversi congrui a 1 modulo 19...

Ops Modifico subito

UPS.

Chi ti assicura che questi $x_i+y_j$ abbiano resti diversi modulo $19$?

Giovanni, vedo ora che hai cancellato la dimostrazione; potevi lasciarla, anche perchè quella che avevi scritto era, sostanzialmente, la dimostrazione che, dati $A,B \subseteq \mathbf{Z}$ finiti e non vuoti, allora
$$
|A+B| \ge |A|+|B|-1.
$$
E' evidente che ci sono delle somiglianze, anche se si passa formalmente a $\mathbf{Z}_{p}$..

jordan ha scritto:Giovanni, vedo ora che hai cancellato la dimostrazione; potevi lasciarla, anche perchè quella che avevi scritto era, sostanzialmente, la dimostrazione che, dati $A,B \subseteq \mathbf{Z}$ finiti e non vuoti, allora
$$
|A+B| \ge |A|+|B|-1.
$$
E' evidente che ci sono delle somiglianze, anche se si passa formalmente a $\mathbf{Z}_{p}$..

Per vedere se ho capito... $A+B=\{x|x=a+b\ \forall a \in A, b\in B\}$?

Hai ragione, magari dovevo definirli prima; comunque si $A+B:=\{a+b: a \in A, b \in B\}$