$19| x+y+z$

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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$19| x+y+z$

Messaggio da jordan » 17 nov 2016, 08:39

Siano dati tre sottoinsiemi $X,Y,Z$ di $\{1,\ldots,19\}$ tali che $|X|=|Y|=|Z|=7$.

Mostrare che esistono $x \in X, y \in Y, z \in Z$ tali che $19$ divide $x+y+z$.
Ultima modifica di jordan il 20 nov 2016, 16:54, modificato 3 volte in totale.
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fph
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Re: 19 divide x+y+z

Messaggio da fph » 17 nov 2016, 09:04

Uhm, ma cosa succede se tutti i 21 numeri sono uguali a 1, per esempio? Non è un controesempio?
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Talete
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Re: 19 divide x+y+z

Messaggio da Talete » 18 nov 2016, 18:02

Ma "non necessariamente distinti" era riferito ai tre insiemi oppure agli interi in ogni insieme?
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Re: 19 divide x+y+z

Messaggio da fph » 18 nov 2016, 18:19

Non cambia nulla; se volete un controesempio con tutti i numeri diversi, prendete 21 numeri diversi congrui a 1 modulo 19...
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Re: 19 divide x+y+z

Messaggio da jordan » 20 nov 2016, 16:51

Ops :roll: Modifico subito
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Giovanni_98
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Re: $19| x+y+z$

Messaggio da Giovanni_98 » 30 nov 2016, 20:40

UPS.
Ultima modifica di Giovanni_98 il 30 nov 2016, 22:31, modificato 1 volta in totale.

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Re: $19| x+y+z$

Messaggio da jordan » 30 nov 2016, 22:14

Chi ti assicura che questi $x_i+y_j$ abbiano resti diversi modulo $19$?
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Re: $19| x+y+z$

Messaggio da jordan » 01 dic 2016, 14:34

Giovanni, vedo ora che hai cancellato la dimostrazione; potevi lasciarla, anche perchè quella che avevi scritto era, sostanzialmente, la dimostrazione che, dati $A,B \subseteq \mathbf{Z}$ finiti e non vuoti, allora
$$
|A+B| \ge |A|+|B|-1.
$$
E' evidente che ci sono delle somiglianze, anche se si passa formalmente a $\mathbf{Z}_{p}$..
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Re: $19| x+y+z$

Messaggio da matpro98 » 01 dic 2016, 15:36

jordan ha scritto:Giovanni, vedo ora che hai cancellato la dimostrazione; potevi lasciarla, anche perchè quella che avevi scritto era, sostanzialmente, la dimostrazione che, dati $A,B \subseteq \mathbf{Z}$ finiti e non vuoti, allora
$$
|A+B| \ge |A|+|B|-1.
$$
E' evidente che ci sono delle somiglianze, anche se si passa formalmente a $\mathbf{Z}_{p}$..
Per vedere se ho capito... $A+B=\{x|x=a+b\ \forall a \in A, b\in B\}$?

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Re: $19| x+y+z$

Messaggio da jordan » 01 dic 2016, 15:40

Hai ragione, magari dovevo definirli prima; comunque si $A+B:=\{a+b: a \in A, b \in B\}$
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